最小產生樹演算法的兩個重要屬性Cycle Property和Partition Property

Cycle Property：

 

T是一個帶權圖的一個最小產生樹，如果存在一條邊e後，在T中形成了一個環C。

則e必須比這個環中任何一條邊都大。

 

證明：

反證法：如果存在一條邊比e大，則去掉這條邊，加入e後，得到的新的最小產生樹的權重

比T還要小，矛盾。

 

Partition Property（嚴蔚敏的書稱作MST性質，也稱作cut property）

將圖G的頂點集合X，分為U和V，|U| + |V| = |X|。在最後產生的最小產生樹中，必然存在

一條貫通這兩條邊的邊e，且這條邊是所有這樣的邊中權值最小的。

 

證明：

依然用反證法，假設T是G的一個最小產生樹，如果T不包含e，T必然包含另外一條大於e的邊e'【weight(e')>weight(e)】，用以溝通U和V。

如果將e加入到T中，則構成一個環，注意這個環一定也包含e'，根據最小產生樹的Cycle Property性質，則e'必然小於環中的任何一條邊，

即weight(e')<=weight(e)，這樣與此前假設矛盾。

 

 

推薦閱讀資料：http://ww3.algorithmdesign.net/handouts/MST.pdf