整數拆分的兩種解法（已完成）

前幾天在演算法書上看到一個整數拆分的題目，覺得挺有意思，記錄如下：

  題目：給定一個整數n，輸出這個整數拆分的可能總數

例如：n==6有

6

5+1

4+2    4+1+1

3+3    3+2+1     3+1+1+1

2+2+2     2+2+1+1        2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

共11種分解方法，所以輸出應該為11。 分析一

拆分按照因子從大到小排列，每一次拆分都可視為問題規模的減少，所以可以使用遞迴解決。

設q(n,m)為整數n使用不大於m的整數進行拆分的所有情況總數，因此有

1）當n==m時

可以分為兩種情況，一個是使用n本身，只有一種情況。二個是使用不大於n-1的整數進行拆分。

所以此時q(n,m)=1+q(n,n-1)；

2）當n<m時

使用比n大的數進行拆分沒有意義，所以此時q(n,m)=q(n,n)

3）當n>m時

這時候有兩種情況，一個是使用m對n進行拆分，一個是使用小於m的數對n進行拆分

對於第一個，使用m對n進行拆分，所以拆分出來的情況最大的數是m，剩下的所有數加起來為n-m，問題變成使用不大於m的整數對n-m進行拆分，所以此時為q(n-m,m)

對於第二個，使用小於m的數對n進行拆分，表示為q(n,m-1)

4）當n==1或者m==1時 只有一種情況，返回1。注意，這裡可能會漏掉m==1的情況，實際上這種情況是存在的。

所以可以使用遞迴函式編程如下：

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int q(int n,int m){if(n==1||m==1){return 1;}if(n<m)  return q(n,n);if(n==m){return q(n,m-1)+1;}if(n>m)return q(n,m-1)+q(n-m,m);}void main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){printf("%d\n",q(n,n));}}

分析二

使用母函數法

整數分解用母函數可以這樣理解，分別用任意個1，2，3，4，……，n可以加起來可以表示成n的種數。又因為當使用整數m對n進行分解時，所使用的次數不能多於n/m次，所以可以寫下母函數如下：

G(x)＝(1+x^1+x^2+……+x^n)*(1+x^2+x^4+……+x^((n/2)*2))*……

          ＊(1+x^m+x^(2*m)+x^(3*m)+……+x^((n/m)*m))*……*(1+x^n)

在程式中使用set數組表示每一輪乘法後得到係數，c數組表示到現在為止乘法得到的係數總和。最後算出結果後x^n對應的係數則為可分解的可能數。代碼如下：

#include<stdio.h>const int num=1000;int set[num];int c[num];void init(){for(int i=0; i<num; i++){c[i]=1;set[i]=0;}}int main(){int n;int sum;init();while(scanf("%d",&n)!=EOF){sum=0;init();for(int i=2; i<=n; i++){for(int j=0; j<=n; j+=i){for(int k=0; j+k<=n; k++){set[k+j]+=c[k];}}for(int x=0; x<=n; x++){c[x]=set[x];set[x]=0;}}printf("%d\n",c[n]);}return 0;}

題目二：給定一個整數n，輸出這個整數拆分的可能形式（即輸出全部情況）

使用遞迴情況（輸出實在麻煩。。弄了很久(>﹏<)）

整個輸出類似於一顆樹，以分解6為例，過程如下圖

 代碼如下：

#include <stdio.h>//使用一個數組記錄在遞迴過程中產生的前面需要重複輸出的值int set[100];//用於在遞迴過程中判斷是否遞迴到最深處，輸出斷行符號int k;//此函數表示使用不大於m的整數對n進行拆分的情況，i用於表示set數組已經存在的記錄數長度void q(int n,int m,int i){if(n==k&&n!=m){ //此時遞迴棧已經退回到某一分支的最上層，輸出斷行符號//並重設計數器i為0printf("\n");i=0;}if(n==1){//當n為1，意味者著只能表示1printf("1 ");return;}else if(m==1){//當m為1，意味著要輸出n個m相加for(int i=0; i<n-1; i++)printf("1+");printf("1 ");return;}if(n<m) {q(n,n,i);}if(n==m){//當n等於m時，到達本次遞迴求和的一個葉子，此時需要輸出多一個空格，表示下一次輸出為另一個葉子printf("%d ",n);//在遞迴輸出另一個葉子之前，將之前記錄的在葉子之上的數一併輸出，如上圖示過程1for(int j=0; j<i; j++)printf("%d+",set[j]);q(n,m-1,i);}if(n>m){//如果n大於m，使用m作為分解，則要首先輸出m+的形式printf("%d+",m);//記錄下作為樹榦節點m的值並使i自增set[i++]=m;//遞迴輸出m+以後的分解q(n-m,m,i);//遞迴完畢後需要將數組記錄後退一個，回到上一個節點，如上圖示過程2i--;//執行另一個分支，在下一次遞迴之前輸出記錄的資料，如上圖示過程3for(int j=0; j<i; j++)printf("%d+",set[j]);//遞迴輸出另一分支情況q(n,m-1,i);}}void main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n<=0){printf("Please input a positive interger.\n\n");continue;}k=n;q(n,n,0);printf("\n\n");}}