UVA 10254 – The Priest Mathematician (dp | 漢諾塔 | 找規律 | 大數)

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題意：

漢諾塔遊戲請看
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正常的漢諾塔遊戲是只有3個柱子，並且如果有n個圓盤，至少需要2^n-1步才能達到目標。

但是在這題中，有4根柱子，並且按照下面規則來玩：

1. 先把圓盤頂部前k個盤子全部搬到第四根柱子上，

2. 然後把剩下的n-k個盤子在前3根柱子中按照經典的規則搬到某個柱子上（假設是a柱），

3. 最後再把那k個盤子搬到目標a柱上。

問按照這樣的規則，最少需要幾步？

思路：

我們先設g[n]表示按照經典的遊戲規則（3根柱子），n個盤子最少需要g[n]步，可以知道g[n] = 2^n-1

然後我們再設f[n]表示按照4根柱子的規則來，n個盤子最少需要f[n]步。

那麼按照上面步驟可以推出：

1. 把圓盤頂部前k個盤子全部搬到第四根柱子 上 ==》 需要f[k]步

2. 把剩下的n-k個盤子在前3根柱子中按照經典的規則搬到某個柱子上 （假設是a柱） ==》需要g[n-k]步

3. 最後再把那k個盤子搬到目標a柱上 ==》需要f[k]步

所以，f[n] = f[k]*2+g[n-k]

因為f[n]要最小，且k不確定，所以枚舉一下k，取最小值即可：

f[n]  =  min{ f[k]*2+g[n-k] , 1<=k<=n }

由於n過大，所以要用到大數。

由於本題的n為10000，上面的演算法複雜度為O(n^2)，所以不能用上面方法。

那麼就打表找規律一下，並不難找

觀察下面前20個，不難找出規律：

f[1] = 1----------------f[2] = 3,  f[2] = f[1] + 2^1f[3] = 5,  f[3] = f[2] + 2^1共 2 個 2^1----------------f[4] = 9,  f[4] = f[3] + 2^2f[5] = 13,  f[5] = f[4] + 2^2f[6] = 17,  f[6] = f[5] + 2^2共 3 個 2^2----------------f[7] = 25,  f[7] = f[6] + 2^3f[8] = 33,  f[8] = f[7] + 2^3f[9] = 41,  f[9] = f[8] + 2^3f[10] = 49,  f[10] = f[9] + 2^3共 4 個 2^3----------------f[11] = 65,  f[11] = f[10] + 2^4f[12] = 81,  f[12] = f[11] + 2^4f[13] = 97,  f[13] = f[12] + 2^4f[14] = 113,  f[14] = f[13] + 2^4f[15] = 129,  f[15] = f[14] + 2^4共 5 個 2^4----------------f[16] = 161,  f[16] = f[15] + 2^5f[17] = 193,  f[17] = f[16] + 2^5f[18] = 225,  f[18] = f[17] + 2^5f[19] = 257,  f[19] = f[18] + 2^5f[20] = 289,  f[20] = f[19] + 2^5共 6 個 2^5----------------

 

代碼：

/**=========================================== *  This is a solution for ACM/ICPC problem. * *  @author: shuangde *  @blog: http://blog.csdn.net/shuangde800  *  @email: zengshuangde@gmail.com *============================================*/import java.math.*;import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String args[]){   BigInteger f[] = new BigInteger[10010];   f[0] = BigInteger.valueOf(0);f[1] = BigInteger.valueOf(1);int i = 2;int k=1;while(i <= 10000){BigInteger add = BigInteger.valueOf(1).shiftLeft(k);for(int j=0; j<k+1 && i<=10000; ++j){f[i] = f[i-1].add(add);++i;}++k;}  Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){int n = cin.nextInt();System.out.println(f[n]); }}}