UVa Problem 10104 Euclid Problem （歐幾裡德問題）

// Euclid Problem （歐幾裡德問題）// PC/UVa IDs: 110703/10104, Popularity: A, Success rate: average Level: 1// Verdict: Accepted// Submission Date: 2011-06-10// UVa Run Time: 0.684s//// 著作權（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net//// 根據 Euclid 求 GCD 的過程，可以找到兩個數 x 和 y，使得：//// a * x + b * y = GCD(a, b)(1)//// 由於 GCD(a, b) = GCD(b, a')，其中 a' = a - b * [a / b]，根據數學歸納法，假設// 已經找到了整數 x' 和 y'，使得：//// b * x' + a' * y' = GCD(a, b)(2)//// 把 a' 的運算式代入(2)式，得到：//// b * x' + (a - b * [a / b]) * y' = GCD(a, b)(3)//// 起始條件是： a * 1 + 0 * 0 = GCD(a, 0)，整理可得到：//// x = y'// y = x' - b * [a / b] * y'//// 由以上可以得到方程 （1） 的一組解，由於方程 （1） 和同餘方程 a * x ≡ GCD(a, b) (mod b)// 是等價的，而通過 Euclid 求 GCD 的過程可以得到同餘方程的一個解 y'，則所有解可表示為：//// x = y' + k * b / GCD(a, b)// y = (GCD(a, b) - a * y' - a * k * b / GCD(a, b)) / b//// 其中 k 為任意整數。由於已經限定 a 和 b 都為正整數，可以不需考慮 a 或（和） b 為 0 的情況。// 由於 GCD(a, b) <= min(a, b)，故 x 和 y 必有 min(x, y) <= 0，max(x, y) > 0。//// 可以將求 GCD 的過程進行擴充，得到相應的解，輸出即可達到要求。演算法得到的 x 和 y 即是絕對值和// 最小的（這一點為什麼成立？因為起始條件 a * 1 + 0 * 0 = GCD(a, 0) 決定了它必將是絕對值和// 最小的）。另外題目的敘述有點讓人疑惑，應該是先考慮絕對值最小的，然後再考慮 x <= y 這個條件。#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;long gcd(long a, long b, long *x, long *y){long tx, ty;long g;if (b > a)return gcd(b, a, y, x);if (b == 0){*x = 1;*y = 0;return a;}g = gcd(b, a % b, &tx, &ty);*x = ty;*y = tx - floor(a / b) * ty;return g;}int main(int ac, char *av[]){long a, b;long g;long x, y;while (cin >> a >> b){g = gcd(a, b, &x, &y);cout << x << " " << y << " " << g << endl;}return 0;}