理解矩陣（讀csdn孟岩之理解矩陣）_照片

幾個月前偶然看到孟兄的blog，讀過之後，如獲至寶，自認為對矩陣有了更深的認識。現在總結分享一下。

“按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。”事實上，當我們開始學習線性代數的時候，不知不覺就進入了“第二代數學模型”的範疇當中，這意味著數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對於從小一直在“第一代數學模型”，即以實用為導向的、具體的數學模型中學習的我們來說，在沒有並明確告知的情況下進行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾裡德空間，我們先不管那麼多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什麼最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：1. 由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2. 這些點之間存在相對的關係；3. 可以在空間中定義長度、角度；4. 這個空間可以容納運動，這裡我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續”性的運動，上面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有一個集合，大多數還得在這個集合上定義一些結構（關係），並不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，容納運動是空間的本質特徵。認識到了這些，我們就可以把我們關於三維空間的認識擴充到其他的空間。事實上，不管是什麼空間，都必須容納和支援在其中發生的符合規則的運動（變換）。你會發現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中允許的運動形式而已。因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那麼，線性變換如何表示呢。很有意思，線上性空間中，當你選定一組基之後，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，線上性空間中選定基之後，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。是的，矩陣的本質是運動的描述。如果以後有人問你矩陣是什麼，那麼你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。

“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那麼對於任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述。”理解這句話的關鍵，在於把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的物件導向編程中，一個對象可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。如果還不形象，那就乾脆來個很俗的類比。比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機選定了一個鏡頭位置，那麼就可以給這頭豬拍一張照片。這個照片可以看成是這頭豬的一個描述，但只是一個片面的的描述，因為換一個鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。同樣的，對於一個線性變換，只要你選定一組基，那麼就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎麼知道這兩張照片上的是同一頭豬呢。同樣的，你給我兩個矩陣，我怎麼知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢。如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認識，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質，那就是：若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為選定了不同的基，也就是選定了不同的座標系），則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關係：A = P-1BP線性代數稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。按照這個定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明白。而在上面式子裡那個矩陣P，其實就是A矩陣所基於的基與B矩陣所基於的基這兩組基之間的一個變換關係。關於這個結論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時間的話，我以後在blog裡補充這個證明。這個發現太重要了。原來一族相似矩陣都是同一個線性變換的描述啊。難怪這麼重要。工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什麼相似標準型，對角化之類的內容，都要求變換以後得到的那個矩陣與先前的那個矩陣式相似的，為什麼這麼要求。因為只有這樣要求，才能保證變換前後的兩個矩陣是描述同一個線性變換的。當然，同一個線性變換的不同矩陣描述，從實際運算性質來看並不是不分好環的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質好得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美醜之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個比較醜的矩陣變成一個比較美的矩陣，而保證這兩個矩陣都是描述了同一個線性變換。

看到這裡，想記下一點東西，1，學數學要注意面對公理化的體系時的學習方法。2，用運動形象的理解矩陣。3，相似矩陣是一族對同一變換的基於不同基底的描述，也就是描述的運動是相同的，只是基於不同角度罷了（想想基底不就是“維”嗎，可以理解成某個角度吧）。
看到一位仁兄的回帖，字字璣珠。要好好體會一下。
“最後談一點我的看法，就當湊個熱鬧：
我覺得研究生期間有兩門數學課是必須要學的（必修的數值分析和機率論與數理統計之外）：一門是泛函分析，另外一門是矩陣論。
矩陣論的重要性工作時間長了就能慢慢體會到，但是大家一般對泛函分析不太瞭解，所以也就很難認識到其重要性了。事實上，泛函分析雖然很抽象，很難直接應用到工作當中去，但是可以協助我們對很多問題有一個更本質的認識。舉兩個例子：說到採樣，大家的第一反應肯定是一個詞“2倍”（採樣定理）。學得比較紮實的，可能還會把為什麼是2倍解釋清楚。但我對採樣的理解是：採樣實際上是在進行正交分解，採樣值不過是在一組正交基下分解的係數。如果原訊號屬於該組正交基所張成的線性子空間，那麼該訊號就能無失真的恢複（滿足採樣定理）。學過訊號處理的朋友，你知道這組正交基是什麼嗎。:)第二個例子是關於為什麼傅裡葉變換線上性系統理論中如此重要。答案可能五花八門，但我認為我的理解是比較深入的：原因是傅裡葉基是所有線性時不變運算元的特徵向量（和本文聯絡起來了）。這句話解釋起來比較費工夫，但是傅裡葉變換能和特徵向量聯絡起來，大家一定感覺很有趣吧。”