基於歐幾裡德演算法的使用

歐幾裡德演算法稱為輾轉相除法，用來求已知m、n兩個自然數的公因數。結合程式說明一下輾轉相除的具體情況。

首先看遞迴實現：

複製代碼 代碼如下:int getcd(int m,int n)
{
if (m < 0 || n <0) {
return 0;
}
if(m < n)
{
int t = m;
m = n;
n = t;
}
if(m % n)
{
return getcd(n,(m % n));
}
else
{
return n;
}
}

主要計算過程分為三個步驟：

1、對輸入的兩個自然數m > n取餘數r，使得0<= r < n

2、如果r為0，n即為所求結果，直接返回

3、r不為0，則賦值m=n,n=r從步驟1開始重新執行

　　兩自然數的公因數的定義說明了計算結果產生的條件。如果步驟1中計算出的餘數r = 0，則較小的數為公因數。如果r!=0則自然數m、n的關係可表示為：m = kn + r（其中k為自然數），等式可以證明能整除m的任何數必定能整除n和r；等式進一步可變形為：r = m - kn，說明同時整除m、n的任何數也必定能整除r。也就是說，能整除m、n的數的集合與整除n、r的數的集合相等。所以輾轉相除的方法成立。

再發布一個迴圈實現歐幾裡德演算法的版本。

複製代碼 代碼如下:int getcd2(int m,int n)
{
if (m < 0 || n <0) {
return 0;
}
if(m<n)
{
int t=m;
m=n;
n=t;
}
int cd = 1;
while(1){
int r = m % n;
if(0==r)
{
cd = n;
break;
}
else {
m=n;
n=r;
}
}
return cd;
}