用STL實現DFS/BFS演算法
——檢查重複狀態前幾天，有網友留言說我使用“先深”、“先寬”的說法是狗屁二流子詞彙，正確的說法應該是“深度優先”，“廣度優先”。態度和用詞雖然有點讓人不好接受，但提的意見終歸是有點道理的。請實話，我已經不記得最早是從哪裡學來的“先深”、“先寬”，但可以肯定一點，本人是發明不出這樣的詞彙的，只是認為這兩個詞還不錯，比較簡單明了，所以就用上了。後來，我上GOOGLE查了一下，結果發現的確用四個字的比用兩個字多得多，看來多數人還是喜歡長一點的詞，或者說長一點的那兩個詞更通用一些。於是我就想是不是該“改正”一下自己的“錯誤”，換個大家更容易接受的詞用用。接下來，很高興地看到有網友挺“先深”、“先寬”，於是我又想，如果我這就換了，豈不是有點對不起那些和我一樣喜歡用“先深”、“先寬”的網友？思前想後，乾脆用E文好了，所以就有了這個新的標題。轉入正題，前面我們說過，到目前為止我們的DFS/BFS演算法還只能搜尋無重複狀態的狀態空間樹，而象下象棋、推箱子等問題，都會出現問題狀態在幾步之後可能會回到以前出現過的狀態的情況。當重複狀態出現時，我們必須能夠識別出來，並且不應把它放入搜尋樹中。最簡單、直接的做法就是，當問題狀態類的nextStep()成員函數返回一組下一步可能狀態時，我們對這些狀態逐一進行檢查，如果發現有重複的，就不把重複狀態放入搜尋樹（即不入棧或入隊列）。至於如何檢查重複狀態，我們還是採用函數模板最常見的方法，讓使用者自己提供檢查的方法，在我們的DFS/BFS演算法中用一個泛型的模板參數來指定它。這樣一來，我們的演算法會變為這樣（以BFS為例）：template <class T1, class T2, class T3 >int BreadthFirstSearch(const T1& initState, const T2& afterFindSolution, T3& checkDup)// 前兩個參數與舊版本相同// checkDup : 仿函式，對於每一個下一步可能的狀態調用之，它接受一個const T1&，// 並返回一個Boolean值，true表示狀態重複，false表示狀態不重複// return : 找到的答案數量{ int n = 0; queue<T1> states; states.push(initState); vector<T1> nextStates; bool stop = false; while (!stop && !states.empty()) { T1 s = states.front(); states.pop(); nextStates.clear(); s.nextStep(nextStates); for (typename vector<T1>::iterator i = nextStates.begin(); i != nextStates.end(); ++i) { if (i->isTarget()) { // 找到一個目標狀態 ++n; if (afterFindSolution(*i)) // 處理結果並決定是否停止搜尋 { stop = true; break; } } else { // 不是目標狀態，判斷是否放入搜尋隊列中 if (!checkDup(*i)) // 只將不重複的狀態放入搜尋隊列 { states.push(*i); } } } } return n;} 與舊版本的相比，我們可以看到，它只是增加了一個模板參數T3、一個調用參數checkDup和一行代碼if (!checkDup(*i))。所有增加的東西都很清楚明白，就不用多說了。現在，使用BFS的使用者要多提供一個函數對象（或仿函式）類型，該函數對象負責儲存傳入的狀態物件（類型為T1）並進行檢查，看看傳入的狀態物件是否與以前傳入的某個對象重複。為了減輕BFS使用者的負擔，我認為應該提供幾個簡單的檢查方法供使用者選用，只有我們提供的方法都不適用時，使用者才需要自行提供。第一個最簡單的檢查方法就是不檢查，即與我們的舊版本BFS一樣。不檢查的方法很簡單，根據這個BFS演算法的要求，我們直接返回false就行了。如下：template <class T>struct NoCheckDup : std::unary_function<T, bool>{ bool operator() (const T&) const { return false; }}; 在這裡，我們可以再多做一些事情，讓我們的新版本BFS與舊版本相容，即提供一個與舊版本相同的介面，這樣可以讓使用者更方便使用。辦法也很簡單，定義一個重載的BreadthSearchFirst，它接受兩個參數（和舊版本一樣），然後使用一個NoCheckDup<T1>對象作為第三參數調用新版本演算法就行了。template <class T1, class T2 >int BreadthFirstSearch(const T1& initState, const T2& afterFindSolution)// 兩參數版本// initState : 初始化狀態，類T1應提供成員函數nextStep()和isTarget()，// nextStep()用vector<T1>返回下一步可能的所有狀態，// isTarget()用於判斷目前狀態是否符合要求的答案；// afterFindSolution : 仿函式，在找到一個有效答案後調用之，它接受一個const T1&，// 並返回一個Boolean值，true表示停止搜尋，false表示繼續找// return : 找到的答案數量{ NoCheckDup<T1> noCheckDup; return BreadthFirstSearch(initState, afterFindSolution, noCheckDup);} 有了這個重載版本，我們前面的數獨問題程式和N皇后問題程式都可以無須修改，重編譯一下就可以了。接下來，我們還可以再實現幾個簡單的重複狀態檢查方法，當然了，它們都會使用STL的容器和演算法來實現。用STL來進行查重，可以有很多方法，我想到了最常用的三種：線性複雜度的find演算法、對數複雜度的set容器，和速度更快但也是最複雜的hash容器。其中最後一種hash容器還不是STL的標準實現，不過多數STL實現都提供了，我們不妨試著用一下。下面，我們一個一個來看看如何?。首先是線性尋找方法，我們可以用一個vector容器來儲存所有傳入的狀態，然後用find演算法來進行線性尋找，代碼如下；// 仿函式，用vector容器檢查狀態結點是否重複，線性複雜度// 要求狀態類提供operator==template <class T>class SequenceCheckDup : std::unary_function<T, bool>{ typedef vector<T> Cont; Cont states_;public: bool operator() (const T& s) { typename Cont::iterator i = find(states_.begin(), states_.end(), s); if (i != states_.end()) // 狀態已存在，重複 { return true; } states_.push_back(s); // 狀態未重複，記錄該狀態 return false; }}; 為什麼選用vector呢？我們的需求很簡單：可以把狀態物件依次放入容器、可以執行find演算法就行了。當然，用deque和list都是可以的，而且時間複雜都是相同層級的（因為插入元素的次序並不重要，我們可以簡單地選擇後端插入）。這樣，我就選擇了佔用空間最少的vector了。為了使find演算法可以執行，對狀態類T提出了一個要求，它必須提供operator==。這一點由狀態類的提供者（即BFS的使用者）負責。當BFS的使用者給出一個支援operator==的問題狀態類MyState後，他就可以這樣使用新版本的BFS： MyState initState(n); SequenceCheckDup<MyState> checkDup; int total = BreadthFirstSearch(initState, continueSearch, checkDup); 還有一點要注意的是，與NoCheckDup不同，SequenceCheckDup是有狀態的，使用同一個對象兩次調用SequenceCheckDup的結果是不同的，對SequenceCheckDup的調用有可能會改變函數對象的狀態。所以，它的operator()不可以是const的。使用這種有狀態的函數對象要格外小心，這是題外話，就不多說了。你可以想象，線性尋找的速度是不能令人滿意的。當搜尋樹增大到一定程度後，線性尋找的速度會越來越慢。BFS在每次產生一個新的狀態結點時，都會調用一次checkDup，所以如果搜尋樹的結點數為n，則BFS的時間複雜度為O(n*n)。我們知道STL中的set容器正是為提高容器內元素搜尋的速度而設計的，如果使用set來替代vector，可以期望BFS的時間複雜度降為O(n*logn)。這樣，我們有了第二個查重方法OrderCheckDup，如下：// 仿函式，用set容器檢查狀態結點是否重複// 要求狀態類提供operator<template <class T>class OrderCheckDup : std::unary_function<T, bool>{ typedef set<T> Cont; Cont states_;public: bool operator() (const T& s) { typename Cont::iterator i = states_.find(s); if (i != states_.end()) // 狀態已存在，重複 { return true; } states_.insert(i, s); // 狀態未重複，記錄該狀態 return false; }}; 與SequenceCheckDup相比，OrderCheckDup把存放已有狀態物件的容器從vector換成了set，把原來的通用find演算法換成了set::find()，把原來的vector::push_back換成了set::insert()，僅此而已。與SequenceCheckDup不同的是，由於OrderCheckDup要把狀態物件存入set，所以它要求狀態類T提供operator<，而不是operator==。所以，如果你想使用OrderCheckDup，你就要給你的問題狀態類MyState提供operator<；至於BFS的使用方法，則與前相同：MyState initState(n);OrderCheckDup<MyState> checkDup;int total = BreadthFirstSearch(initState, continueSearch, checkDup); 通常來說，OrderCheckDup提供的O(n*logn)時間複雜度已經很不錯了，對於絕大多數問題來說都是合適的。但有的時候，使用者可能要追求更高的查重速度，這時可以考慮使用hash容器。這就是我們的第三個查重方法HashCheckDup，如下：// 仿函式，用hash_set容器檢查狀態結點是否重複// 要求狀態類提供operator==以及hash函數template <class T, class HashFcn = hash<T> >class HashCheckDup : std::unary_function<T, bool>{ typedef hash_set<T, HashFcn> Cont; Cont states_;public: typedef typename Cont::hasher hasher; HashCheckDup(const hasher& hf) : states_(100, hf) {} bool operator() (const T& s) { if (states_.find(s) != states_.end()) // 狀態已存在，重複 { return true; } states_.insert(s); // 狀態未重複，記錄該狀態 return false; }}; 它使用了尚未正式進入C++標準的hash_set，不過有很多STL實現都提供這個容器，具體的說明可以去看相關文檔，這裡只說一點，hash_set容器要求存入的物件類型T要提供operator==和一個hash函數。所以我們可以看到，HashCheckDup除了把set換成了hash_set，它還多了一個模板參數和一個建構函式（即hash函數）。Hash函數實現的好壞直接關係到hash_set容器進行尋找的速度，沒有一種通用的hash演算法，所以必須由類型MyState的提供者來提供適用於MyState的hash演算法，它的格式應該是這樣的：struct HashMyState{ size_t operator() (const MyState& s) const { … }}; 當你為MyState準備好了operator==以及hash演算法後，可以這樣來調用BFS：MyState initState(n);// 以下變數定義必須通過添加括弧來消除二義性，否則編譯器會把它看作函式宣告HashCheckDup<MyState, HashMyState> checkDup((HashMyState()));int total = BreadthFirstSearch(initState, continueSearch, checkDup); 這段代碼中有一個很有趣的現象，即在checkDup的定義中，用於調用建構函式的實參多了一重括弧。一眼看上去，這重括弧好象是多餘的，但其實不是。如果沒有這重括弧，這段代碼是通不過編譯的，編譯器會抱怨說在下一行代碼中的BreadthFirstSearch()模板函數執行個體化有錯，不能把MyState轉換為HashMyState (*)()。開始的時候，我也被弄糊塗了，只依稀記得在哪見過這個錯誤。一番尋找後，在《Exception C++ Style》的第29條找到了答案。原來在沒有多一重括弧時，編譯器把這行代碼：HashCheckDup<MyState, HashMyState> checkDup(HashMyState());看作是一個函式宣告而不是變數定義！書中給出了最簡單的解決方案：通過添加一對括弧來消除二義性。這就是這對看似多餘的括弧之所以存在的原因。現在我們有了總共四個尋找重複狀態的方法：不尋找、線性尋找、二分尋找(set容器提供的其實就是一種有序容器上的二分尋找)和hash尋找。使用者可以根據需要選用它們中的一個。不同的方法對於問題狀態類有不同的要求，總結如下：
| 尋找方法 |
對問題狀態類的要求 |
| 不尋找 |
僅適用於不會出現重複狀態的情況，對問題狀態類無特別要求 |
| 線性尋找 |
要求問題狀態類提供operator==，尋找速度慢 |
| 二分尋找 |
要求問題狀態類提供operator<，尋找速度較快 |
| Hash尋找 |
要求問題狀態類提供operator==以及hash演算法，如果hash演算法合適的話，尋找速度最快 |
如果這四種方法都不合你意，你可以自行提供尋找演算法並用它來調用BFS好了。說了這麼多，我想也應該用一個實際的問題例子來檢驗一下我們的新版BFS了，我挑選的例子是幾年前做過一道題目：推箱子；與數獨問題和N皇后問題相比，推箱子遊戲要複雜不少，所以下一篇文章可能會多花一點時間。
