Fibonacci（費伯納西）數列求解 zz

　　描述了動物繁殖數量、植物花序變化等自然規律。作為一個經典的數學問題，Fibonacci數列常作為例子出現在程式設計、資料結構與演算法等多個相關學科中。

　　下面簡單地分析一下常見的Fibonacci數列求解演算法。

　　1、遞迴法。大多數教材在講解遞迴演算法時總喜歡以Fibonacci數列為例，這是因為我們可以直觀地從定義公式的第三行看出Fibonacci數列的遞迴性。其C++實現如下：

unsigned long Fib(int n) { if (n <= 1) { return n; } else { return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); } }

　　遞迴演算法與定義公式十分吻合，容易理解，但計算過程存在大量重複的運算，時間複雜度達到了O(2^n)，使用的記憶體空間也隨著函數調用棧的增長而增長。這顯然不適於實用的程式。

　　2、表驅動的遞迴法。這裡不提純粹的表驅動法，因為對於項數未知的Fibonacci數列開啟大片的空間來換取時間未免不值得且不負責。我們只是為了消除遞迴法中大量重複的運算，可以將已經計算過的中間值存入一個表，已備後續使用：

#define MAX_LOG 20 static unsigned long Logs[MAX_LOG] = {0}; unsigned long Fib(int n) { if (n <= 1) { return n; } else if (n < MAX_LOG && Logs[n] != 0) { return Logs[n]; } else { Logs[n] = Fib(n - 1) + Fib(n - 2); return Logs[n]; } }

　　當n小於儲存的表長時，由於每個中間值只計算一次，時間複雜度降為O(n)。但隨著n的增大，要想維持O(n)的時間複雜度，就必須擴大儲存的表長，這就造成了儲存空間的浪費。

　　3、迭代法。求Fibonacci數列第n項時雖然要用到前面兩項的值，但它們僅作為臨時計算的中間值，不作為結果輸出，因此無保留的必要，完全可以轉化成迭代法求解：

unsigned long Fib(int n) { int i; unsigned long a = 0, b = 1, c; if (n <= 1) { return n; } else { for (i = 2; i <= n; i++) { c = a + b; a = b; b = c; } return c; } }

　　迭代法的時間複雜度為O(n)，使用的記憶體空間也不會動態上漲。個人認為Fibonacci數列更適宜作為迭代法而非遞迴法的典例出現在教材上。

　　下面給出兩種數學性較強的演算法。考慮到表達的簡潔性，用Matlab實現：

　　4、轉移矩陣法。此方法通常見於線性代數中的Markov過程樣本。Fibonacci數列第n項與第n-1項可以通過轉移矩陣的n-1次迭代求出：

　　代碼如下：

function y = Fib(n) first = [1; 0]; trans = [1 1; 1 0]; last = trans ^ (n - 1) * first; y = last(1, 1); end

　　此演算法的時間複雜度相當於計算矩陣乘方的時間複雜度。在計算2階矩陣n次方時，如果直接按矩陣乘法定義式展開，不加特別最佳化，其時間複雜度為O(n)。

　　5、通項公式法。Fibonacci數列的通項公式如下（證明略）：

　　利用通項公式可以得到Fibonacci數列的任何項：

function y = Fib(n) sr5 = sqrt(5); y = uint32((((1 + sr5) / 2) ^ n - ((1 - sr5) / 2) ^ n) / sr5); end

　　該方法的時間複雜度貌似為O(1)，但我們還應該考慮乘方運算的時間消耗。不加特別最佳化時，用乘法實現n次乘方的時間複雜度為O(n)。考慮到浮點數計算效率和精度問題，此方法在電腦實現時不如轉移矩陣法。

　　下面再給出兩種對電腦實現有特別意義，但同時有一定局限性的實現方法（只是實現方法，不能稱為新的演算法）。其中使用了一些C++編程技巧，對使用其它語言實現也有一定的參考價值：

　　6、模板元編程法。通常我們在C++中使用模板，僅限於類模板與函數模板。事實上C++支援模板元編程，理論上可以在編譯時間執行任何計算（甚至包含選擇、迴圈、遞迴等結構）。代碼如下：

#define Fib(N) FibT<N>::Val template<int n> struct FibT { enum { Val = FibT<n - 1>::Val + FibT<n - 2>::Val }; }; template<> struct FibT<0> { enum { Val = 0 }; }; template<> struct FibT<1> { enum { Val = 1 }; };

　　我們用一個結構體作為模板的載體，用一個枚舉值儲存運算結果。其中第一個模板為基本遞迴過程（使用遞迴演算法是為了說明的簡便，完全可以用其它演算法替代，以加速編譯過程），後兩個模板為n=0、1時的模板特化。通過#define語句將模板調用簡寫成類似函數調用的方式。程式在編譯時間運算所需的Fibonacci數列項，將結果作為常量嵌入編譯好的程式。運行時直接使用結果，時間複雜度真正地變成了O(1)。但這一方法最大的局限就是只能對常量嵌入，程式中出現諸如計算Fib(i++)的情況則無能為力。儘管如此，這比在代碼中手工計算並寫入所需的值要直觀準確，比通過純粹的表驅動法“空間換時間”要方便快捷。

　　7、函數對象法。此方法主要用於C++ STL編程的通用演算法方面，其執行行為也有別於以上其它方法：

class Fib { public: Fib() : a(0), b(1), n(0) { } unsigned long operator()() { if (n <= 1) { n++; return n - 1; } else { int c; c = a + b; a = b; b = c; return c; } } private: int a, b, n; };

　　這個函數類對象的行為可以理解為一個“Fibonacci數列發生器”，其測試性調用如下，程式將依次列印

void test(int i) { Fib fib; do { cout << fib() << endl; } while (i--); }

　　函數對象具有與函數指標類似的行為，同時又能儲存自身的一些屬性，因此常用於STL通用演算法編程。但針對單個的Fibonacci數列項求值，靈活性不如一般的方法。

　　希望讀者能夠從上面的演算法分析中舉一反三，有所領悟。

參考資料：
　　1、Bruce Eckel，Thinking In C++ Volume 2: Practical Programming，機械工業出版社，2006
　　2、William J. Collins，Data Structures and the Standard Template Library，機械工業出版社，2003
　　3、Knott's Surrey University，The Home page for Fibonacci Numbers and the Golden Section，http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/