利用對手論證法證明中位元問題的比較次數下界[ZZ]

5個數通過6次比較求中位元的方法如下：

5個數之間的大小關係構成的一個樹形圖T。T中的一個結點代表一個數，而一條邊代表它所關聯的兩個數的大小關係，T的根就是中位元。顯然T中的一條
邊要由一次比賽來確定。在下面的圖中，如果x大於y，則節點x在節點y的上方且x和y有一條邊相連。另外，*表示一般的數，o表示下一次即將進行比較的兩
個數。

第1步，先任取兩個數比較，結果為：

  *
  |
  *  o o *

第2步，再取另外兩個數比較，結果為：

  o  o
  |  |
  *  *  *
 
第3步，按照比較其中兩個標記為o的數，比較結果只有一種情況：

   *
  / /
 *   o
 | 
 *      o
 
第4步，按照比較其中兩個標記為o的數，比較結果有兩種情況：

   *    o               *
  /  / /               / /
 o    *               o   o
 |                    |   |
 *                    *   *
 
第5步，按照比較其中兩個標記為o的數，比較結果有兩種情況：

  *    *               *
 / /  / /             /
/   //   /           /
|   //   |          /
|  /  /  |         *
| /    / |         | /
|/      /|         |  /
o        o         |   /
|                  o    o
|                       |
|                       |
*                       *

第6步，按照比較其中兩個標記為o的數，比較結果有兩種情況：

 
*   *         *   *            *               *
 / /           / /             |               |
  x             x              *               *
  |            / /             |               |
  *           *   *            x               x
  |                            |              / /
  *                            *             *   *
                               |
                               *

其中的x就是中位元。

事實上，可以證明：對於n個數求中位元，至少需要3(n-1)/2次比較，並且存在一個O(n)次比較的演算法。

下面介紹如何利用對手論證方法來證明中位元問題的比較次數下界。

首先介紹“對手論證（Adversary Argument）”方法。

若用P表示所討論的問題，I表示問題的輸入，A表示求解問題P的基於比較運算的演算法T(A,I)表示對於輸入I演算法A的計算時間複雜性，那麼，函數
       U(n)=min{max{T(A,I)}, for each I}, for each A，
是問題P當輸入的大小為n時在最壞情況下的最好下界。它是問題所固有的。

問題P的這個最好下界通常很難按其定義計算得到，因為對於一個具體的A，要得到
       max{T(A,I)}, for each I
就是一件很難的事，更何況對於一切的A。因此，人們往往不去精確地求U(n)，而是退而求其次，即找一個f(n)，它不大於U(n)但盡量地接近於U(n)，使f(n)成為問題P的一個好下界。

對手論證方法是找f(n)的一種有效方法。它的基本思想是對每一個A，構造一個輸入特殊的輸入I'，使T(A,I')盡量地大，然後在所有A的集合上，求T(A,I')的盡量好的下界作為f(n)。這種方法通過
    f(n) <= min{T(A,I')}, for each A <= min{max{T(A,I)}, for each I}, for each A = U(n)
來保證f(n)是問題P的一個下界，又通過使T(A,I')盡量大來保證f(n)是一個好的下界。

對手論證方法的關鍵在於有一套對一切A都適用的構造符合要求的I'的策略，即對手策略。這種策略，逐步地構造出一個輸入I'，便演算法A為得到與幾相
應的結果，要做盡量多次的比較和判斷，從而使T(A,I')盡量大。需要注意的是，一方面對手策略須具有一致性，即不能前後矛盾，以保證I'的存在性；另
一方面對手策略還須對一切A都適用，因為我們需要在一切A組成的集合上求T(A,I')的下界。至於策略的具體內容將因問題而異。甚至同一個問題可能有多
種策略，要得到好的下界，需要有好的策略。

中位元問題的原型是：任給n個數，要求找出它們的中位元，即第[(n+1)/2]大的數。

下面我們用對手論證方法來證明中位元問題比較次數的下界為3(n-1)/2次。

不失一般性，這裡假設所給的n個數互不相同，且n為奇數。

我們用A表示求解中位元問題的任意一個基於比較的演算法。對於任意給定的輸入I，演算法A在最後輸出所要找的中位元之時，已經確定了I中哪(n-
1)/2個數大於該中位元和哪(n-1)/2個數小於該中位元。我們稱I中大於中位元的數為上部數，小於中位元的數為下部數。顯然，演算法最終從I中分出
(n-1)/2個上部數和(n-1)/2個下部數，靠的是"組織"一系列的比賽。一個數最後被確定為上部數，要麼曾經直接與中位元比賽過且贏了它，要麼曾
經與另一個上部數比賽過且贏了它；類似地，一個數最後被確定為下部數，要麼曾經直接與中位元比賽過且輸給它，要麼曾經與另一個下部數比賽過且輸給它。我們
稱演算法中同是上部數或同是下部數之間的比賽，以及上部數或下部數與中位元之間的比賽為關鍵性比賽；而稱演算法中分別是上部數和下部數的兩個數之間的比賽為非
關鍵性比賽。注意，只有關鍵性比賽才能使我們獲得有用的資訊，非關鍵性比賽並不能使我們獲得有用的資訊。若用N1(A,I)，N2(A,I)和
T(A,I)分別表示對於輸人I演算法A的關鍵性比賽次數、非關鍵性比賽次數和計算時間複雜性，那麼我們明顯有
  T(A,I) >= N1(A,I) + N2(A,I)
我們的目的是給出中位元問題的一個計算時間下界，即對於所有的演算法A，max{T(A,I)}的一個下界，而且希望這個下界的值盡量大。

為此，我們使用對手論證方法。對任意給定的演算法A，假設他的輸入為I，設M是不在I中的一個數，我們將從I出發，構造一個確定的輸入I'。因為非關
鍵性比賽不能使我們獲得有用資訊，是“無用”的比賽，為了得到盡量大的T(A,I')，我們構造的I'應該都使得N2(A,I')盡量地大。I中每兩數
x,y在進行比較前（參賽前）的狀態分別用N，N'，L，S和E來表示，它們的含義依次是：

★ N : 該數未曾參加過比賽，且不是當前唯一的未參加過比賽的數;
★ N': 該數是當前唯一的末曾參加過比賽的數;
★ L : 該數已參加過比賽，且其值大於M;
★ S : 該數已參加過比賽，且其值小於M;
★ E : 該數已參加過比賽，且其值為M。

採取的對手策略如表1所示。注意,表1中的對手策略是一致的，因為I'中的數x,y只當在第一次參加比賽時（即x,y賽前狀態中有N'時）才會修改
x,y的值，一旦x,y的值被修改過了，以後再次參加比賽時就不再修改。表1中對手策略的關鍵是：當x,y第一次參加比賽時，如果該比賽可能成為關鍵性比
賽，則修改x,y的值使得該比賽便為非關鍵性比賽；在遇到最後一個參賽數時，將他的值修改為預先規定的中位元M的值。

                        表1  中位元問題的對手策略

+========+=======+=================================+============+===============+
|  x:y賽前狀態   |                                 |            |  x:y賽後狀態  |
|--------+-------|       對  手  策  略            |  比賽類型  +-------+-------+
|   x    |   y   |                                 |            |   x   |   y   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+

+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N    |   N   | 若x>M且y>M，則減少y，使y<M;     |  非關鍵性  |   L   |   S   |
|        |       +---------------------------------+------------+-------+-------+
|        |       | 若x<M且y<M，則增加x，使x>M;     |  非關鍵性  |   L   |   S   |
|        |       +---------------------------------+------------+-------+-------+
|        |       | 若x<M且y>M，則不改變x,y         |  非關鍵性  |   S   |   L   |
|        |       +---------------------------------+------------+-------+-------+
|        |       | 若x>M且y<M，則不改變x,y         |  非關鍵性  |   L   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   L    |   L   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   L   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   S    |   S   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   S   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   E    |   E   | 此情況不可能出現                |            |   -   |   -   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N'   |   N'  | 此情況不可能出現                |      -     |   -   |   -   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+

+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   L    |   N'  | 不改變x的值，令y的值為M         |  關鍵性    |   L   |   E   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N'   |   L   | 不改變y的值，令x的值為M         |  關鍵性    |   E   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   S    |   N'  | 不改變x的值，令y的值為M         |  關鍵性    |   S   |   E   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N'   |   S   | 不改變y的值，令x的值為M         |  關鍵性    |   E   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N    |   N'  | 若x<M，不改變x的值，令y的值為M  |  關鍵性    |   S   |   E   |
|        |       +---------------------------------+------------+-------+-------+
|        |       | 若x>M，不改變x的值，令y的值為M  |  關鍵性    |   L   |   E   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N'   |   N   | 若y<M，不改變y的值，令x的值為M  |  關鍵性    |   E   |   S   |
|        |       +---------------------------------+------------+-------+-------+
|        |       | 若y>M，不改變y的值，令x的值為M  |  關鍵性    |   L   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+

+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N    |   L   | 若x>M，則減小x，使x<M;          |  非關鍵性  |   S   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   L    |   N   | 若y>M，則減少y，使y<M;          |  非關鍵性  |   L   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   L    |   S   | 不改變x,y                       |  非關鍵性  |   L   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   S    |   L   | 不改變x,y                       |  非關鍵性  |   S   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N    |   S   | 若x<M，則增加x，使x>M;          |  非關鍵性  |   L   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   S    |   N   | 若y<M，則增加y，使y>M;          |  非關鍵性  |   S   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+

+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   N    |   E   | 此情況不可能出現                |     -      |   -   |   -   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   E    |   N   | 此情況不可能出現                |     -      |   -   |   -   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   L    |   E   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   L   |   E   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   E    |   L   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   E   |   L   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   S    |   E   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   S   |   E   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+
|   E    |   S   | 不改變x,y                       |  關鍵性    |   E   |   S   |
+========+=======+=================================+============+=======+=======+

根據表1的策略，I'中的數只當它在第一次參賽時才被修改，更進一步，對於由該策略構造出來的I'的n個數，其中至少有n-2個數參加了非關鍵性的比賽。注意到n是奇數，因此演算法A對根據表1構造的輸入I'所“組織”的比賽中，非關鍵性的比賽至少有(n-1)/2次，即
   N2(A,I') >= (n-1)/2    ------ (1)
下
面我們對於同一個I'來考慮N1(A,I')的界。如前所述，演算法A為了找出I'的中位元，必須識別出I'的(n-1)/2個上部數和(n-1)/2個下
部數。說得更具體些，演算法A至少必須識別出I'的n個數之間的大小關係構成的一個樹形圖T。T中的一個結點代表I'中的一個數，而一條邊代表它所關聯的兩
個數的大小關係，T的根就是中位元。顯然T中的一條邊要由一次比賽來確定，又因為一棵n個結點的樹有n-1條邊，因此T至少要有n-1次比賽才能夠確定，
而且這些比賽都必須是關鍵性的比賽。於是，我們有
   N1(A,I') >= n-1        ------ (2)
綜合(1)(2)式可知:
   max{T(A,I)} >= T(A,I') = N1(A,I') + N2(A,I') >= 3(n-1)/2
從而得到中位元問題的比較次數下界為3(n-1)/2。

至於最壞情況下O(n)次比較的選擇第k大元素的演算法，說起來比較麻煩，暫時就不說了（打字太累~~）