白話空間統計十五：多距離空間群集 (Ripley's K 函數) （上）

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空間分析裡面，最重要的一個概念就是距離，不同的距離會導致不同的結果。在研究的時候，有種叫做“空間尺度”的概念，這個有興趣的話，請自行百度（老規矩：百度知道的東西別問我）。

 

所以，在研究聚類的時候，最重要的就是確定不同資料之間的距離，否則就會如下：

 

 

 

群集中，要素之間的距離是個很重要的參數；也就是說兩個要素相隔多遠才算是聚成一類呢？在任何一種聚類演算法中，探索一個合適的距離，都是比較糾結的事情。專家提出了各種演算法，都想要最佳化這個距離探索的過程，以便有效降低計算開銷。

 

同樣一份資料，在不同的距離上，表現出來的聚類效果肯定是不同的，所以我們今天來說一個灰常灰常神奇的工作，他不同於其他的分析工具的單一距離分析，他可以匯總在一定距離內所有資料的相關性進行匯總，以供我們選擇適當的分析比例。

 

首先我們來看Ripley‘s K函數是個什麼東西。Ripley‘s K方法是一種點資料模式的分析方法，它可以利用Ripley‘s K函數對點資料集進行不同距離的聚類程度分析，如所示：

當距離為5的時候，要素的質心的位置和密度如左圖所示，當距離擴大為10的時候，質心和包含的要素數量都會發生變化，那麼資料的密度也會隨之變化。

 

所以，Ripley‘s K函數就是用來表明這批要素的質心的空間聚集或空間擴散的程度，以及在鄰域大小發生變化時是如何變化的。

 

我們來看看這個演算法的基本原理。

 

首先我們要設定一個起算距離，當然，還可以指定最終距離或者增量步長，如開始為5，然後每次計算增加3這樣的。計算的距離增加的時候，包含的相鄰的要素自然就會原來越多，那麼就可以針對不同的距離，去計算包含的資料的密度。

 

當全部算完之後，把每個距離的密度進行一下算數平均，並且用這個平均密度，作為用於比較的標準密度值。

 

然後用每個距離裡面，包含的資料量的密度，來與標準密度值進行比較。大於標準密度，那麼我們就認為這個距離上，資料處於聚類分布，而小於標準值的，我們就認為他處於離散分布。如所示：

從可以看見，整個資料分布，其實不是線性，而這種所謂的離散或者距離，更多的是一種定性的說法，至於哪個距離上聚集效果好，哪個程度上離散程度大，一般是通過觀察k值和預期k值進行比較得來的。

 

所謂的觀察k值，指的是我們計算出來的實際密度值，而預期k值，指的是在隨機分布的情況下，預期的分布情況。

 

有的同學就要問了，不是用的平均密度來進行比較嗎？這個預期K值和隨機分布又是什麼鬼？

 

平均值的問題，前面我們已經一而再再而三的說過了，雖然他簡單好用，但是他的優點和缺點一樣的明顯，在描述演算法的時候，可以用平均值來進行描述，但是實際使用中，平均值暴露出來的各種問題，會讓分析人員為之抓狂。特別是在空間分布研究的時候。如果僅僅用平均密度來研究具有空間分析的資料，會出現如下問題：

 

所以為了避免平均數帶來的一些簡單粗暴的計算，在研究空間分布的時候，更多是利用零假設的方式，來設定隨機數進行分布，作為預期值。

 

實際上，研究的方式是這樣的：

 

在每個研究地區內，都進行隨機假設，也就是獨立的將每個研究預期中都採用零假設的方式設定期望值，這樣的話就可以避免上面那種整體平均數出現的錯誤了。

 

所以，整個演算法，在計算完成之後，會產生兩個資料，一個叫做“觀測K值”，一個叫做“期望K值”，他們的特點如下：

如果特定距離的 K觀測值大於 K預期值，則與該距離（分析尺度）的隨機分布相比，該分布的聚類程度更高。如果 K觀測值小於 K預期值，則與該距離的隨機分布相比，該分布的離散程度更高。

 

當然，前面我們在解釋零假設的時候，說了任何的假設，最好需要設立一個信賴度，就如同前面說的，進行驗證的時候，首先就要決定我們來拋多少枚硬幣，費希爾爵士也總結出了一個5%的規律。

 

當然，你也可以不設定信賴度，這樣的話，就表示怎麼計算都行，只要得出結果就好了。

 

而效果比較好的，當然就是要設定一下執行度了。

 

在這個演算法裡面，確定期望K值時候，是要通過設立隨機數來實現的，也就是說，你有100個資料，我就要產生100隨機數，然後隨機的分布在你的研究地區中，用這個隨機分布的假設，來驗證你的資料。

 

因為是隨機數，所以放置這些隨機數的時候，你也無法確定到底扔在那個地方，有可能都扔在一堆了……所以最好的方法，就是多設立幾組隨機數，多放置幾次，以獲得最佳效果。那麼設立多少組隨機數比較好呢？理論上來說，當然是越多越好，但是實際上不可能搞得非常多。在ArcGIS提供的多距離空間群集 (Ripley‘s K 函數) 工具裡面，給了“Compute_Confidence_Envelope”（計算信賴區間）這樣一個參數，一共給出了4個選項：

 

• 0_PERMUTATIONS_-_NO_CONFIDENCE_ENVELOPE —不建立信賴區間。
• 9_PERMUTATIONS —隨機放置了 9 組點/值。
• 99_PERMUTATIONS —隨機放置了 99 組點/值。
• 999_PERMUTATIONS —隨機放置了 999 組點/值。

其中：9 表示 90%，99 表示99%，999 表示 99.9%。

 

使用了這個參數之後，演算法還會計算出LwConfEnv和 HiConfEnv這兩個資料，他們分別表現每個迭代計算（由距離段數量參數指定）的信賴區間資訊。

 

如果觀測K值大於 HiConfEnv 值，則該距離的空間聚類具有統計顯著性。如果觀測K值小於 LwConfEnv值，則該距離的空間離散具有統計顯著性。

 

具體這個演算法進行計算以及其得出的結果和具體解讀，我們在下篇文章繼續。

 

待續未完。

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