Wannafly挑戰賽25 因子 數論

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一、題意

令 X = n!, 給定一大於1的正整數p 求一個k使得 p ^k | X 並且 p ^(k + 1) 不是X的因子

輸入為兩個數n, p (1e18>= n>= 10000 >= p >= 2)

二、分析

2.1前置知識：階乘質因數分解

定理：在n！的標準分解式中，質因數p的指數h為

\[h = \left[ {\frac{n}{p}} \right] + \left[ {\frac{n}{{{p^2}}}} \right] + ... = \sum\limits_{r = 1}^\infty  {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} \]

推論：n！可以由他的質因數表示為

\[n! = \prod\limits_{p \le n} {{p^{\sum {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} }}} \]

2.2本題思路

由題意可得，p的質因數肯定是n！的質因數；所以首先將p做質因數分解，得到p的各個質因數的指數h，再對每一個p的質因數求其在n！中的指數H

那麼題中所求的K肯定是每一對H/h的數值中的最小值

\[ans = \arg \min \frac{{{H_i}}}{{{h_i}}}\]

三、代碼

 

 1 # include <iostream> 2 # include <cstdio> 3 using namespace std; 4 const long long INF = 1e18+10; 5 long long n,p; 6 long long H(long long i) 7 { 8     long long res = 0; 9     long long temp = n;10     while(temp)11     {12         res += temp/i;13         temp /= i;14     }15     return res;16 }17 void Solve()18 {19     long long ans = INF;20     for(int i=2;i<=p;i++)21     {22         if(p%i == 0)23         {24             long long h = 0;25             while(p%i==0)26             {27                 h++;28                 p/=i;29             }30             ans = min(ans,H(i)/h);31         }32     }33     printf("%lld\n",ans);    34 }35 int main()36 {37     while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF)38     {39         Solve();40     }41     return 0;42 }

 

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