什麼是超級立方體，HyperCube

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我試試用我的方式說說如何構造n維空間吧。

n維空間在n大於3後，說要畫出來，有點難以想象。
但從數學的角度看，高維空間這個概念還算比較普通、容易理解的。

與其解釋，不如快快開始。我選擇用圖(Graph)的方法來描述想說的東西，而且，我選的是特殊的某類空間，並且不是大多數人通常理解的空間。我選的空間的各個維度上只有一個位元——值只能在0和1之間取。數學符號表示是

下面會看到，這個模型會讓人想到資訊理論裡格雷碼。但那是另一碼事；我事實上忘了這種圖論模型的名字，只是知道它而已。這裡選擇它，只是因為它的空間非常簡單，我覺得應會比較容易感受維度擴張如何進行。

首先希望大家放下對維度先入之見。此處的維度，僅是@Ent 所說的自由度，並非大家通常理解的座標軸的延伸方向。

開始吧。
首先是，

零維空間，沒有維度——也即連一個可以取0-1值的位元都容不下。

但給它擴張一個維度後，

就有點意思了。原先的一個點獲得了一個方向分成了兩頭。此時圖示對應的空間可以容納一個取0-1值的位元，這個空間即成為一維的空間。

再擴張，

這是空間可以容納兩個位元了，也即可以表示種狀態。在該圖裡，開始可以看到維度是如何擴充的了：圖的底下那條邊，正是前一張圖；將該條單邊做一份拷貝，然後將原圖和拷貝的兩個頂點串連起來，就得到了這張圖。

再按上述的方式擴張一次，

此時，該圖擁有了個頂點，可表示的狀態也增長到這個數目；它所對應的空間擴張成了三維的，能容納三個在0和1之間取值的位元。這裡有個比較有趣的現象：
許多人傾向將這個圖看作是立方體，哪怕他只是一個圖(Graph)。

再來，應該是四維空間。大家可能都見過很多次的四維空間的標誌物：

即這個問題的首頁圖：超立方體(Hypercube)。
事實上確實會得到超立方體，

（解釋一下，首頁圖片上的這個圖形也是兩個立方體的八個頂點互相串連，只不過下面這個圖是兩個大小相同的立方體，而上面那個看起來一大一小）
如果你眼力比較好，可以看出這個圖跟本問題的首頁圖是等價——妥妥的同一回事。該有的點都有，點和點之間該有的邊都有，不該有的邊都沒有。這次的擴張，和前面的操作完全一樣：
先取上一張圖的原份，做一份拷貝；再將拷貝和原份的對應點串連起來，得到下一張圖。
新圖對應的空間，再次多了一個位元；同時能表示的狀態翻了一倍。

上面各個過程，進行的操作是一樣的：對空間的擴基(Extending basis)，將n-1維空間升級為n維空間。由數學歸納法，事實上我們可以得到任意維的空間。只是，我取的空間是特殊的。
但也不要認為這樣的空間離歐氏空間很遠——這種由位元組成的空間 (我忘了它的正式稱謂) 的座標值只能在兩個離散值間取；假若各個座標的取值都能取實數，那它就是歐氏空間

就介樣，以後別說「畫不出n維空間」這樣的話了

什麼是超級立方體，HyperCube