第1.5節 無窮小從何而來？

   在今年十月份，國內新入學的大學生將會收到J.Keisler的一份禮物。這份禮物是什麼呢？禮物珍貴嗎？當然，十分珍貴。為什嗎？

         在J.Keisler的《基礎微積分》教材的第1.5節（標題是無窮小，有限超實數與無窮大）裡面有這樣一段話：“This
entire calculus course is developed from three basic principles relating the real and hyperrdal numbers: the Extension Principle, the Transfer Principle, and the Standard Part Principle.”，大意是，“這整本微積分學教材從3條聯絡著實數與超實數的基本原理展開。這3條原理是：延伸原理、轉移原理與標準部分原理。

         整個微積分學只需3條理論支柱，這種視角，這種說法，確實新鮮，獨樹一幟。這3條原理聯絡著實數與超實數，並不偏向於實數或超實數的任何一方。也就是說，微積分學需要兩種數系：實數系與超實數系，缺一不可。

         實際情況是，利用數理邏輯模型論的技術手段（比如：超冪）一次性地構建出超實數系*R，在*R重新定義數字之間的算術運算以及大小次序關係，在超實數*R系統中，分出一個子集合R，使其對應於原有的傳統實數系。也就是說，*R與R都是新構造出的數系，不是一老一新，可以厚此薄彼。

       在這種”雙數系“架構下，傳統微積分學中的函數f自然遷移到*R的子集合R（實數的新模型)上了，進一步延伸到超實數*R中。此時，不難發現，出現一種超實數b，在這種新型大小次序關係下，滿足條件0<b<r，r是”雙數系“架構下的新實數，而不是超實數。這種情況是容易想象的。這就是所謂的”無窮小“。無窮小不是單個發明出來的，而是成批生產製造（構造）出來的。

      由超實數*R（所謂”超實線“）出發，容易展開超實平面的解析幾何學。在一個幾何點周圍存在許多”無限接近“的“超實點”（平面單子），求解曲線的切線問題也就有了全新的思路，新的視角。站在新的高度看待微積分學，從此，微積分學不再是枯燥無味的教條了。學生們的想象力可以盡情的發揮。

           我們現在所做的工作是：文字轉錄、語義校對與大型網站的建立。為的是把J.Keialer的禮物（微積分的新視角、新高度）傳送到廣大學生的手中。有人也許會說，你們的做法把傳統微積分學的教學秩序搞亂了。我們說，非也。在這種”雙數系“架構下，傳統極限概念更加容易理解。不是把原有教學秩序搞亂，而是原有教學內容需要改革。

          說明：昨天，文員薛lily女士有重新上傳資料到新浪科技部落格頻道，把第1.5節（無窮小，有限超實數與無窮大）的”修訂稿“三字去掉了，但是，相關圖形仍然被過濾了。怎麼辦呢？懇請大家在本文留言中給予指教，多謝了！