小數在電腦中為什麼會有誤差？說明機器數、碼制、浮點數、以及數制轉換的一些問題

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1.常用的數制

十進位  0~9

八進位 0~7

二進位 0~1

十六進位 0~F

 

2.十進位 轉 各個進位

   方法 ： 除以基數取餘反向

 

3. 2進位  8進位  16進位 轉十進位

二進位

___________________________

  2^3     2^2    2^1     2^0

   1         0          0         1         X

  =8+ 1 = 9

 

八進位

———————————--------------

8^1    8^0

1          7

=1*8 + 7*1 = 15

 

十六進位類似。 

 

4.二進位轉 十六進位  八進位

二轉八

三位一組   結果並在一起

二轉十六

四位一組   結果合并在一起

 

5. 整數在記憶體中的儲存，採用二進位

                   符號位

原碼   正數      0

          負數       1

反碼   正數      和原碼相同

          負數      在原碼基礎上，符號位不變，各個位取反

補碼   正數     和源碼相同

          負數      在反碼基礎上，符號位不變，末位 +1

案例↓↓↓↓↓↓

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                   原碼                 反碼              補碼

5         0000  0101        0000 0101       0000 0101

-5        1000   0101       1111  1010      1111 1011

 

6. 機器數 和 真值

用“+”、“-”號加絕對值來表示數值的大小，用這種形式表示的數值在電腦中稱為“真值”

符號數位化後，位元的最高位“0”表示正號，“1”表示負號，用這種形式表示的數值在電腦中稱為“機器數”

機器數中小數點隱含不佔位

機器數       有符號            純整數   點在最低位之後

                                        純小數   點在符號位之後，最高位之前。  

                 無符號            純整數    點在最低位之後

                                        純小數    點在最高位之前

 

7.小數的儲存 

   電腦中小數以二進位（浮點數）形式儲存。

   首先是一個十進位小數形式，轉化成二進位的計算案例。

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0.8125 轉換成二進位

  其實這種情況是趕巧了得到一個確切的值。

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但對於某些特殊情況是這樣的

 

8.浮點數產生誤差的原因

  有兩鐘情況，會產生誤差

   1）以二進位儲存浮點數，所以一些原本有限位的小數，按照上面方法運算以後，可能變成一個無限迴圈的小數。

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   （十進位）0.9轉成2進位是無限迴圈小數0.1110011001100110011...

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2）電腦儲存浮點數的精度有限，例如float可以保留十進位最多7位（二進位23位）有效數字，double 可以保留十進位15~16位（二進位52位）有效數字。那有效數字以後的就被忽略了。

小數在電腦中為什麼會有誤差？說明機器數、碼制、浮點數、以及數制轉換的一些問題