為何很大的浮點大數加一個很小的數計算結果不是預期

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通常浮點數被表示成N=S*rj S稱為尾數，可正可負，j稱為階碼可正可負。r是基數，在電腦中取以2的倍數。

電腦中為了提高精度，進行規格化操作：即假設N=11.0101  則規格化表示為N=0.110101*210表示，因為該規格化使得浮點數的表示精度最高。

機器中浮點數由兩部分組成：階碼和尾數。基數為2

 

階碼由階符跟階碼組成，尾數由數符跟尾數組成

其中階碼是整數，階符和階碼的位元m合起來反映浮點數的表示範圍及小數點的實際位元。尾數是小數，其位元反映了浮點數的精度。

還有機器零這個概念：即浮點數尾數為0，或者階碼小於等於所能表示的最小數。機器都把該浮點數看成0.並稱該0為機器0.

 

電腦中兩個浮點數加減法的運算步驟：

1、對階，使兩個數的小數點位置對齊。則需要使階碼一樣。也就是咱們數學經常做的x*100+y*1000 = x*0.1*1000+y*1000  因為電腦中對階是低階向高階對齊。則當兩個數值相差很大的時候，在進行對階的時候小數點需要向左移動，導致末端的資料會出現丟失的現象。一個很簡單的例子，比如0.10100*2100跟0.10000*21000，則進行對階的時候則小的這個數需要階碼需要加100，又因為精度為5位，則使得左邊的數表示為0.00001*21000而導致出現精度丟失現象。

2、尾數求和。則如第一個例子的0.10100*2100跟0.10000*21000對階相加之後的結果為0.10001*21000

3、規格化，即將小數點的最高位移到為1，因為當前最高位為1所以不用移動

4、舍入，為提高精度，考慮尾數右移時丟失的數值。

5、溢出判斷。

 

這裡只講為啥相加會有精度丟失的現象。相減也是同一個道理，對階導致的精度丟失。

為何很大的浮點大數加一個很小的數計算結果不是預期