兩個向量(x1, y1), (x2, y2) 之間的平行四邊形面積為啥是 (x1*y2-x2*y1)？

原文連結：http://blog.csdn.net/zhangxaochen/article/details/8027003

突然就想鑽鑽牛角尖，搞搞這個問題。其實這本來是不知道哪裡的一句話而已。。

估計，大學生像我這樣的，看到這個問題都得愣一下。。。

至少行列式什麼的我都給忘了。

 

1. 想了一下首先想到的是高中解析幾何知識。因為如果把 (x2, y2) 看做parallelogram的底邊，邊長就是 sqrt（x2*x2+y2*y2）。然後，求點（x1, y1)到直線{(0,0), (x2, y2)} 的距離，d=|x1y2-x2y1|/sqrt（x2*x2+y2*y2）。然後底乘高就是 x1y2-x2y1了。

 

2. 但是上面的解法既不高明，又不簡明。 irc 的 ##math channel 上得到好心人相助，給了個初中解答版，一目瞭然：

藍色的平行四邊形為待求面積，他的一半，可以用 粉色大直角三角形 減掉地區1,2,3 的面積得到，然後很快得到整個平行四邊形面積

 

3. 本來主題應該是行列式和線性映射神馬的。只是給忘乾淨了，又沒拾起來。所以不會啦。

留個Cale的解說：

 If you know already that if the area of some set S is A, and T is a linear map, then T(S) = {T(v) : v in S} has area |det T| A, then you just note that the parallelogram spanned by (x1,y1) and (x2,y2) is the image of the unit
square, i.e. the parallelogram spanned by (1,0) and (0,1) under the linear map whose matrix representation consists of those two vectors

 

想想效果，還真是，比如單位square，右上方（1,1），被向量（x1,y1) (x2,y2) 展開變形下就映射到了座標 （x1+x2, y1+y2)

只能先補理論去~~

 原文連結：http://blog.csdn.net/zhangxaochen/article/details/8027003

{{OVER}}