智叟分牛

標籤：演算法

    很小的時候就看到了這麼一個故事。

    相傳古印度有一位老人，臨終前留下遺囑，把所養的19頭牛分給3個兒子。大兒子分得二分之一，老二分得四分之一，小兒子分得五分之一。按印度教規，牛被視為神靈，不能被宰殺，而父親的遺囑須無條件遵守。按老父親的遺囑，大兒子分得的牛數為：19/2=9.5，二兒子分得：19/4=4.75頭，小兒子分得19/5=3.8頭牛。老人死後，三位兒子一籌莫展。[1]

    還記得那時候是三年級，看書已知道答案，就是大家熟悉的借牛法，即：向其他的人借一頭牛，加在一起共有20頭，大兒子分得20/2=10頭牛，二兒子分得20/4=5頭牛，小兒子分得20/5=4頭牛，共分得10+5+4=19頭牛，將剩下的一頭牛還給別人。當時剛好來了一個非常年輕，非常帥氣的數學老師，一向心高氣傲的我想考考這位老師的數學水平，於是將這道題問他。這位老師一節課後將我叫到了辦公室，認真的給我解釋怎麼分牛，當時心中還是挺佩服他的。

    雖然早已知道答案，但心中一直有一事不明，10頭牛並不是19的二分之一，為何算是正確答案呢？直到昨天，我才明白其中的奧秘。

    解釋一。

    注意到，1/2+1/4+1/5=19/20，也就是說，三個兒子第一次分得的牛加起來其實並不是所有牛。假設所有牛為1，則還剩下1-19/20=1/20，按照老人的遺囑，剩下的1/20的牛也應該讓大兒子分得二分之一，老二分得四分之一，小兒子分得五分之一，此時還剩下1/20-1/20*(1/2+1/4+1/5)=1/(20*20)，如此不斷的分下去，那麼，分得的牛數情況如下：

    大兒子：19*(1/2+1/2*1/20+1/2*1/(20*20)+...)=19/2*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    二兒子：19*(1/4+1/4*1/20+1/4*1/(20*20)+...)=19/4*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    小兒子：19*(1/5+1/5*1/20+1/5*1/(20*20)+...)=19/5*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    1, 1/20, 1/(20*20), ... 是一個極限等比數列，根據等比數列公式：Sn=a1*(1-q^{n)/(1-q)，可知}

    1+1/20+1/(20*20)+...=1*(1-(1/20)^{n)/(1-1/20), n->無窮大=20/19}

    因此，最終的分配方案為：

    大兒子：19/2*20/19=10

    二兒子：19/4*20/19=5

    小兒子：19/5*20/19=4

    解釋二。

    大兒子分得二分之一，老二分得四分之一，小兒子分得五分之一，可以看成他們的分配比例。

    大兒子:二兒子:小兒子=1/2:1/4:1/5=10:5:4，因此三個兒子最終獲得的牛數為：

    大兒子：19*10/(10+5+4)=10

    二兒子：19*5/(10+5+4)=5

    小兒子：19*4/(10+5+4)=4

[1] 周穎, 程式員的數學思維修鍊, 清華大學出版社, P150

轉載請註明：康瑞的部落 ? 智叟分牛

智叟分牛