1964年Williams發明的，1992年Sedgewick發表了堆排序效能分析 "The analysis of heapsort"。所以求堆排序的最優已耗用時間比較難。一、最壞已耗用時間
由於前面已經證明了：在n個元素的堆中，MAX-HEAPIFY的最壞已耗用時間為Ω(lgn)。如果要求堆排序的最壞已耗用時間，則可以假設每次MAX-HEAPIFY都是最壞已耗用時間。堆T為一般堆，即可能是滿二叉樹，也可能不是滿二叉樹，如果不是滿二叉樹，則將最下面一層刪除後變成滿二叉樹，即為T‘。設F()為最壞已耗用時間，則F(T)>=F(T').
我們只要求F(T')=Ω（nlgn）即可。
所以得證。
二、最優已耗用時間假設要堆排序的堆T不是滿二叉樹，則我們可以將最下層的葉子節點去除，使其變成滿二叉樹T‘，我們可以說明對T’堆排序的最優時間一定小於對T堆排序的最優時間，即如果設f()為堆排序的優有時間，則f(T)>f(T')。
因此我們先考慮對滿二叉樹排序，首先給出幾個命題。
命題：假設有k層滿二叉樹，即高度為k-1，經過2^(k-1)次EXTRACT-MAX即將堆的高度減少一層後，這2^(k-1)個節點中至少還有2^(k-1)/2仍在堆中。
證明：首先給出兩個性質，(1)如果要刪除兒子節點，必須先刪除父親節點，因為EXTRACT-MAX是從大到小的，而父親節點肯定比兒子節點大，所以父親肯定比兒子節點要先被EXTRACT。(2)如果在第k層有m個點要刪除，則在第k-1層，至少有ceil(m/2)個點要刪除，比如第k層有2個節點要刪除，則如果兩個節點有共同父親，則在k-1層中至少刪除其父親，如果兩個節點沒有共同父親，則至少要刪除它們的父親後才能夠刪除它們。
我們如果證明了可以有2^(k-1)/2個節點在堆中，則大於2^(k-1)/2個節點在堆中就不需要證明了。
當有2^(k-1)/2個節點在堆中，則有2^(k-2)個節點不在堆中，在他的上一層至少有ceil(2^(k-1)/4)=2^(k-3)個節點不在堆中，以此類推，在第一層有1個節點不在堆中。因此這些不在堆中的節點加起來：2^(k-2)+2^(k-3)+....+2^0=2^(k-1)-1，個數小於EXTRACT-MAX的次數，因此可能，因為如果肯定不在堆中的點的個數大於EXTRACT-MAX的次數，則說明不可能。
當有2^(k-1)/2+1 個節點不在堆中，則上一層有2^(k-3)+1個節點不在堆中，類推，則第一層有1個節點不在堆中。這些點加起來：2^(k-2)+1+....2^0=2^(k-1)-1+k-1=2^(k-1)+k-2，因此當k>2時這個個數就大於EXTRACT-MAX的次數了，所以不成立，因此得證。
因為經過2^(k-1)次EXTRACT-MAX後至少有2^(k-1)/2個節點在堆中，所以至多有2^(k-1)/2個節點不在堆中，因為2^(k-1)次EXTRACT-MAX需要拿走2^(k-1)個節點，因此在1~k-1層中至少有2^(k-2)個節點不在堆中，即會被拿走。
命題：對於一棵k層滿二叉樹，任意非葉子節點都只能通過swap操作往上走，而不能往下走。
證明：這個很顯然。
因為上面的命題，所以對於1~k-1層至少2^(k-2)個非葉子節點，如果要被拿走，只能通過swap操作往上走，因此最好情況分析就是swap操作至少做幾次。假設這些節點全部塞滿1~k-2層，一共2^(k-2)-1個，全部都swap到根節點需要：k=Θ(lgn)，所以2^0 * 0 + 2^1 * 1 + 2^2 * 2 + ..... + 2^(K-3) *(K-3)=Θ(nlgn)
所以k->k-1層需要Θ(nlgn)，所以k->k-2層也是,以此類推，所以最優情況複雜度為Θ(nlgn)=Ω(nlgn)
滿二叉樹考慮好了，假設給定一棵一般樹，結點個數為n，則將最下面一層的葉子去除，就變成了一棵滿二叉樹，而最下面一層最多為n/2，所以m=(n-n/2)=n/2為滿二叉樹的節點個數，因為滿二叉樹的複雜度為:Ω(mlgm)=Ω((n/2)lg(n/2))=Ω(nlgn)所以一般樹肯定大於等於Ω(nlgn)，所以肯定也是Ω(nlgn)
