錯排【數學】【排列】【容斥原理】

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今天整理數論的模板發現了錯排的公式，推導有點忘記了，查了資料搞明白了。

已知錯排的公式為：

 D(n) =  n ! ( 1 -   1 / 1 !   +   1 / 2 !   -   1 / 3 !   +   ...  +  ( - 1 ) ^ n / n ! )

          =  ( n - 1 ) ( D ( n - 2 )   -   D ( n - 1 ) )  

下面是根據容斥得到答案的過程：

設1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合為I,而使ti=i的全排列的集合記為Ai(1<=i<=n)。

Ai=(n - 1)! 

則Dn=| I | - | A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An |.

        所以Dn = n! - | A1 ∪ A2 ∪ .. . ∪ An |.　　注意到 | Ai | = ( n - 1 ) !   ,    | Ai ∩ Aj | = ( n - 2 ) !  ,   ...   ,   | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An | = 0 ! = 1.　　由容斥原理：        
        

則： | A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =  C ( n , 1 ) ( n - 1 ) ! - C ( n , 2 ) ( n - 2 ) ! + C ( n , 3 ) ( n - 3 ) ! - . . . - ( - 1 ) ^ n C ( n , n ) * 0 ! 
　　Dn = n ! - | A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | = n ! - C ( n , 1 ) ( n - 1 ) ! + C ( n , 2 ) ( n - 2 ) ! - C ( n , 3 ) ( n - 3 ) ! + . . . + ( - 1 ) ^ n C ( n , n ) * 0 ! 　　 = n ! ( 1 - 1 / 1 ! + 1 / 2 ! - 1 / 3 ! + . . . + ( - 1 ) ^ n * 1 / n ! )    = ( n - 1 ) ( D ( n - 2 ) - D ( n - 1 ) )證明完畢。下面給出前面幾組錯排的數值：

D(1) = 0       

D(2) = 1     

D(3) = 2

D(4) = 9       

D(5)= 44       

D(6) = 265

D(7) = 1854     

D(8)= 14833    

D(9) = 133496

D(10) = 1334961

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