演算法-滑動視窗的中位元(堆)

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今天在網上刷了一道關於堆的題，感覺有所收穫。因為在這裡之前，之前從來沒有接觸過關於堆的題目。

  題意：

 給定一個包含 n 個整數的數組，和一個大小為 k 的滑動視窗,從左至右在數組中 滑動這個視窗，找到數組中每個視窗內的中位元。(如果數組個數是偶數，則在 該視窗排序數字後，返回第 N/2 個數字。)

範例：

 對於數組 [1,2,7,8,5], 滑動大小 k = 3 的視窗時，返回 [2,7,7]  最初，視窗的數組是這樣的：  [ | 1,2,7 | ,8,5] , 返回中位元 2;  接著，視窗繼續向前滑動一次。  [1, | 2,7,8 | ,5], 返回中位元 7;  接著，視窗繼續向前滑動一次。  [1,2, | 7,8,5 | ], 返回中位元 7;

  最初看到這個題，想到的方法是暴力，將給定的視窗裡面數字從先到大排序，再去中間那個數就行了。但是，到後面發現逾時了。於是乎，在網上搜尋了相關解法，網上大多數使用的是用優先隊列來操作。基本思路：用兩個優先隊列來模仿大頂堆和小頂堆（關於大頂堆和小頂堆的含義，這裡不再詳細的解釋），然後操作兩個隊列裡面的資料，選出中位元。

1.解題思想

  (1).優先隊列

   用一個優先隊列模仿大頂堆，用來裝已經在視窗裡面的數位小的那一半，另一個隊列則是小頂堆，裝另一半。於是乎，剩下的那一個(沒有進入任何一個隊列)就是中位元

  (2).最初的添加資料

  我們假設兩個隊列在初始化都是空的，同時最初的時候，視窗的裡面什麼資料都沒有，並且將當前的中位元設定為即將進入視窗的那個數。所以我們預設，向視窗加入資料是從第二個開始。

  當我們加入一個資料時，判斷它與當前的中位元(第一個資料作為中位元)的大小，如果它大於當前的中位元的話，則將它放入小頂堆；反之則放入大頂堆。放入過後(不論是大頂堆還是小頂堆)，判斷大頂堆的size與小頂堆的size，如果大頂堆的size大於小頂堆的size，則將當前的中位元放入小頂堆，從大頂堆取出一個資料(poll)作為新的中位元；如果小頂堆的size - 1都大於大頂堆的size，那麼將當前的中位元放入大頂堆，從小頂堆中取出一個資料作為新的中位元。：

  

  問題： 為什麼這裡大頂堆的size大於小頂堆size就調整，而小頂堆的size - 1大於大頂堆的size才調整呢？

    我們先來看看題：如果數組個數是偶數，則在該視窗排序數字後，返回第 N/2 個數字。這裡說，如數字個數為偶數，則取 N/2。例如：視窗中有3個數字：1 2 3， 那中位元是 2，這個沒有爭議；但是如果視窗有4個數字：1 2 3 4 ，按照題意，選擇 N/2,則是2，也就是說當前大頂堆為：4，而小頂堆：1 2。所以在小頂堆的size - 1大於大頂堆的size才調整，因為如果不調整的話，當前的中位元與當前視窗的數位中位元不符合，因為視窗在這之前已經加入一個數字。

  而加入一個數字，中位元有兩種結果：當兩個頂堆的size相等或者小頂堆的size - 大頂堆的size = 1時，中位元不變，因為兩個頂堆的size平衡(我們可以這樣認為，當前視窗中數字小的那一半在視窗的左邊，大的那一半放在視窗的右邊，而中位元在兩個頂堆中間)；當大頂堆的size大於小頂堆的size，表示實際的中位元偏向了大頂堆，所以將當前的中位元放入小頂堆去，從大頂堆中取出最大值作為當前的中位元(大頂堆中的所有數字小於當前的中位元，小頂堆的所有數字大於當前中位元，所以將當前的數字放入大頂堆)。總之一句話，就是加入一個數字後，必須保證當前的中位元就是實際的中位元。

  

  (3).後續的添加資料

    首先我們按照最初的添加資料步驟中得出的中位元，根據前面的規則來添加資料。

   當添加一個過後，我們必須在兩個頂堆中任意一個移除一個資料，這樣才能保證當前視窗顯示的數字。我們知道肯定移除當前視窗的第一個，怎麼移除呢？首先當前視窗的第一個的值，這個值與當前的中位元來比較，如果大於中位元，則這個值在小頂堆中，從小頂堆移除就是了；如果小於中位元，表示這個值在大頂堆中，從大頂堆中移除；當等於中位元時，則判斷當前小頂堆的size與大頂堆的size，如果大於大頂堆，則從小頂堆中取出一個資料作為新的中位元；反之，從大頂堆取出一個資料作為新的中位元。

  問題：為什麼當移除那個值與當前的中位元相等，要這樣操作？

  首先經過前一次添加資料，大頂堆的size與小頂堆的size要麼相等，要麼大頂堆的size - 小頂堆的.sze = 1。而這一次添加資料後，要麼加入大頂堆，要麼加入大頂堆，根據size判斷，當大頂堆的size >= 小頂堆的size，表示當前添加資料小於當前的中位元，則實際上的中位元偏向了大頂堆了，所以從大頂堆中取出一個資料作為新的中位元；反之也是這樣，從小頂堆中取出一個資料作為新的中位元也是這個道理。

  

 

(4).進一步的調整

  如果在(3)中，移除之前，大頂堆的size - 小頂堆的.sze = 1，而且移除的資料在大頂堆中，那麼實際的中位元就偏向了小頂堆，所以需要進一步調整；同時如果，本來大頂堆的size 等於 小頂堆的.sze ，而且移除的資料在小頂堆中，那麼實際的中位元就偏向大頂堆。

2.代碼

   說完瞭解釋，現在開始貼代碼

 1     public class minComparator implements Comparator<Integer> { 2         public int compare(Integer a, Integer b) { 3             if (a > b) 4                 return 1; 5             else if (a == b) 6                 return 0; 7             else 8                 return -1; 9         }10     }11 12     public class maxComparator implements Comparator<Integer> {13         public int compare(Integer a, Integer b) {14             if (a > b)15                 return -1;16             else if (a == b)17                 return 0;18             else19                 return 1;20         }21     }22 23     public List<Integer> medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {24         List<Integer> res = new ArrayList<Integer>();25         if (k == 0 || nums.length < k) {26             return res;27         }28         PriorityQueue<Integer> maxQueue = new PriorityQueue<>();//大頂堆29         PriorityQueue<Integer> minQueue = new PriorityQueue<>();//小頂堆30         int media = nums[0];31         //最初的添加資料32         for (int i = 0; i < k; i++) {33             if (media < nums[i]) {34                 minQueue.offer(nums[i]);35             } else {36                 maxQueue.offer(nums[i]);37             }38             if (maxQueue.size() > minQueue.size()) {39                 minQueue.offer(media);40                 media = maxQueue.poll();41             } else if (maxQueue.size() < minQueue.size() - 1) {42                 maxQueue.offer(media);43                 media = maxQueue.poll();44             }45         }46         res.add(media);47         //後續的添加資料48         for (int i = 0; i < nums.length; i++) {49             if (media < nums[i]) {50                 minQueue.offer(nums[i]);51             } else {52                 maxQueue.offer(nums[i]);53             }54             //移除當前視窗第一個值55             int old = nums[i - k];56             if (old == media) {57                 if (minQueue.size() > maxQueue.size()) {58                     media = minQueue.poll();59                 } else {60                     media = maxQueue.poll();61                 }62             } else if (old < media) {63                 maxQueue.remove(old);64             } else {65                 minQueue.remove(old);66             }67             //進一步調整68             while (maxQueue.size() > minQueue.size()) {69                 minQueue.offer(media);70                 media = maxQueue.poll();71             }72             while (minQueue.size() < minQueue.size() - 1) {73                 maxQueue.offer(media);74                 media = minQueue.poll();75             }76             res.add(media);77         }78         return res;79     }

 

演算法-滑動視窗的中位元(堆)