檢查一個二叉樹是否平衡的演算法分析與C++實現

今天面試一個實習生，就想既然是未出校園，那就出一個比較基礎的題吧，沒想到答的並不如人意，對於樹的操作完全不熟悉，因此此題算是未作答。原來我想看一下他分析問題的思路，最佳化代碼的能力。接下來會把最近半年我出的面試題整理出來，以來share給其它同事，而來算是自己校園記憶的一個總結，畢竟自己在項目中已經很久未用到這些知識。其實很多題目都是來源於CareerCup.com。這上面彙集了許多IT名企的面試筆試題目，非常值得找工作的人學習。

言歸正傳，什麼是二叉樹是否平衡的定義，如果面試者不知道，那肯定要提出來，而不是簡簡單單說我對樹不熟悉，或者找其他更多更多的理由。

其實可以根據平衡的定義，直接遞迴訪問整棵樹，計運算元樹的高度。

struct TreeNode{TreeNode *leftChild;TreeNode *rightChild;int data;};int getHeight(const TreeNode* root){if( root == nullptr){return 0;}return max(getHeight(root->leftChild), getHeight(root->rightChild)) + 1;}bool isBalanced(const TreeNode* root){if( root == nullptr){return true;}int heightDiff = abs(getHeight(root->leftChild) - getHeight(root->rightChild));if( heightDiff > 1){return false;}else{return isBalanced(root->leftChild) && isBalanced(root->rightChild);}}

如果開始能給出這個解法那是可以接受的。但是，由於同一個node的高度會被重複計算，因此效率不高。演算法複雜度是O(n*logn)。接下來，我們要改進這個演算法，使得子樹的高度不再重複計算：我們通過刪減重複的getHeight(const TreeNode*)調用。其實getHeight不單可以計運算元樹的高度，其實還可以判斷子樹是否的平衡的，如果不平衡怎麼辦？直接返回-1。那該遞迴調用就可以結束了。

因此，改進的演算法就是從root開始遞迴檢查每個子樹的高度，如果子樹是平衡的，那麼就返回子樹的高度，否則返回-1：遞迴結束，樹是不平衡的。

int checkHeight(const TreeNode* root){if( root == nullptr){return 0;}// check the left subtree is balanced or not.int leftHeight = checkHeight(root->leftChild);if( leftHeight == -1 ){return -1;}// check the right subtree is balanced or not.int rightHeight = checkHeight(root->rightChild);if( rightHeight == -1){return -1;}// check the current tree is balanced or not.int diff = leftHeight - rightHeight;if( abs(diff) > 1){return -1;}else{// return the tree height.return max(leftHeight, rightHeight) + 1;}}bool isBalanced(const TreeNode* root){    return ( checkHeight(root) == -1 )? false:true;}

由於每個node只會訪問一次，因此演算法時間複雜度為O(n)。但是需要額外的O(logn)的空間。