【轉】遊戲程式員的數學食糧05——向量速查表

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原文：http://gad.qq.com/program/translateview/7172922

翻譯：王成林(麥克斯韋的麥斯威爾)  審校：黃秀美（厚德載物）

 

這是本系列大家盼望已久的第五篇。如果你對向量瞭解不多，請先查看本系列的前四篇文章：介紹，向量基礎，向量的幾何表示，向量的運算。

這篇速查表會列舉一些遊戲中常見的幾何問題，以及使用數學向量解決它們的方法。

 

基本向量運算的完整表單

首先，先複習一下。

 

首先我假設你有一個可用的向量類。它的功能大部分集中在2D上，但是3D的原理相同。差別只在於向量乘積，在2D中我假設向量相乘只會返回代表“z”軸的標量。我會特別指出任何只適用於2D或3D的情況。

 

嚴格來說，一個點不是一個向量——但是一個向量可以代表從原點（0，0）到點的距離，那麼把向量當做點代表位置就很合理了。

 

我預期在該類中你擁有每個分量，以及下列各運算（使用C++風格的標記法，包括運算元的重載——但根據你的需求應該很容易將它翻譯到任何其它的語言）的使用許可權。如果一個運算不可用，你仍可以通過拓展該類或者建立一個“VectorUtils”的類來實現它。以下的例子一般適用於2D向量——但對於3D通常只需簡單地按照x、y的形式加入z座標即可。

 

• Vector2foperator+（Vector2f vec）：返回兩向量的和。（在沒有重載的語言中，該函數可能叫做add（）。下面幾個例子類似。）

a+b=Vector2f（a.x+b.x,a.y+b.y）；

• Vector2foperator-（Vector2f vec）：返回兩向量的差

a-b=Vector2f（a.x-b.x,a.y-b.y）；

• Vector2foperator*（Vector2f vec）：返回兩向量的逐分量的乘積

a*b=Vector2f（a.x*b.x,a.y*b.y）；

• Vector2foperator/（Vector2f vec）：返回兩向量的逐分量的商

a/b=Vector2f（a.x/b.x，a.y/b.y）；

• Vector2foperator*（float scalar）：返迴向量所有分量分別乘以一標量參數的結果。

a*s=Vector2f（a.x*s，a.y*s）；

s*a=Vector2f（a.x*s，a.y*s）；

• Vector2foperator/（float scalar）：返迴向量所有分量分別除以一標量參數的結果。

a/s=Vector2f（a.x/s，a.y/s）；

• floatdot（Vector2f vec）：返回兩向量的點乘

a.dot（b）=a.x*b.x+a.y*b.y；

• floatcross（Vector2f vec）：（2D情況）返回兩向量叉乘（3D向量）的z分量

a.cross（b）=a.x*b.y-a.y*b.x；

• Vector3fcross（Vector3f vec）：（3D情況）返回兩個向量的叉乘。

a.cross（b）=Vector3f（a.y*b.z-a.z*b.y, a.z*b.x-a.x*b.z,a.x*b.y-a.y*b.x）；

• floatlength（）：返迴向量的長度。

a.length（）=sqrt（a.x*a.x+a.y*a.y）；

• floatsquaredLength（）：返迴向量長度的平方。適用於比較兩向量的長度，避免了計算平方根。

a.squaredLength（）=a.x*a.x+a.y*a.y；

• floatunit（）：返回一個指向同一方向長度為1的向量。

a.unit（）=a/a.length（）；

• Vector2fturnLeft（）：返迴向量向左旋轉90度的結果。適用於計演算法向量。（假設y軸指向上，否則就是向右轉）

a.turnLeft=Vector2f（-a.y，a.x）；

• Vector2fturnRight（）：返迴向量向右旋轉90度的結果。適用於計演算法向量。（假設y軸指向上，否則就是向左轉）
• a.turnRight=Vector2f（a.y，-a.x）；
• Vector2frotate（float angle）：按照特定角度旋轉向量。儘管很少能夠在向量類中找到，但這是非常有用的運算。等效於乘以一個2x2旋轉矩陣

a.rotate（angle）=Vector2f（a.x*cos（angle）-a.y*sin（angle）,a.x*sin（angle）+a.y*cos（angle））；

• floatangle（）：返迴向量指向的角度。

a.angle（）=atan2（a.y，a.x）；

 

簡單的樣本——熱身

例1——兩點間距離

也許你知道可以用畢達哥拉斯定理得出，但是向量方法更簡單。給定向量a和向量b：

1	float distance = (a-b).length();

 

例2——矯直（alignment）

一些情況下你也許想要按照一張照片的中心矯直它。有時要按照它的左上方或者中上點。更廣泛來說，為了最大限度地控制矯直線，你可以使用一個兩分量從0到1（甚至超出也可以，如果你希望的話）的向量進行任意方向的矯直。

1 2	// imgPos, imgSize and align are all Vector2f Vector2f drawPosition = imgPos + imgSize * align

 

例3——參數化直線方程

兩點定義一條直線，但是該定義有很多玄機。一個處理直線不錯的方法是使用參數化方程：一個點（“P0”）和一個方向（“dir”）。

1 2	Vector2f p0 = point1; Vector2f dir = (point2 - point1).unit();

 

有了這個，你可以，例如，你可以得到一個距離p010單位遠的點：

1	Vector2f p1 = p0 + dir * 10;

 

例4:——中點和兩點間的內延（interpolation）

給定向量p0和p1。它們的中點是（p0+p1）/2。更廣泛來講，p0和p1定義的線段可以通過線性內延在0到1間改變t來得到

1	Vector2f p = (1-t) * p0 + t * p1;

在t=0時，你得到p0；在t=1時，你得到p1；在t=0.5時，你得到中點，等等。

 

例5：找到一線段的法向

你已經知道如何找到線段的方向了（例3）。將它旋轉90度得到法向量，所以對它使用turnLeft（）或turnRight（）即可得到結果。

 

使用點乘的投影

點乘對於計算向量沿一個方向投影的長度具有很大協助。我們需要向量（“a”）和一個代表投影方向（“dir”）的單位向量（所以確保你首先使用unit（））。那麼投影長度就是a.dot（dir）。例如，如果a=（3，4），dir=（1，0），那麼a.dot（dir）=3。你可以判斷這是正確的，因為（1,0）是x軸的方向。實際上a.x恒等於a.dot（Vector2f（1，0）），a.y恒等於a.dot（Vector2f（0，1））。

因為a和b的點乘還可以被定義為|a||b|cos（alpha）（alpha是兩向量夾角），所以如果兩者垂直結果為0，如果兩者夾角小於90°結果為正，大於90°結果為負。我們可以使用這一點判斷兩向量是否指向同一大方向。

如果將點乘的結果乘以方向向量，你會得到沿著那方向的向量的投影——我們稱之為“at”（t代表切向）。如果我們做a-at，我們會得到垂直於方向向量的向量——我們稱之為“an”（n代表法向）。at+an=a。

 

例6——決定最靠近dir的方向

假設你有許多指向不同方向的單位向量，你想要找出哪一個方向最靠近dir。只需找到列表中向量和dir點乘的結果最大的那個。同樣，最小的點乘意味著距離最遠的那個。

 

例7——判斷兩向量的夾角是否小於alpha

使用上述方程，我們知道如果兩向量a和b的單位向量的點乘小於cos（alpha），那麼它們之間的夾角小於alpha。

123	bool isLessThanAlpha(Vector2f a, Vector2f b, float alpha) {    return a.unit().dot(b.unit()) < cos(alpha);}

 

例8——判斷一點所在的半平面

假設平面中有任意一點p0，和一個方向（單位）向量，dir。假設一條穿過p0，垂直於dir的無線長的線將平面一分為二：dir指向的半平面和dir沒有指向的半平面。那麼如何判斷一個點p是否在dir指向的那一邊呢？記住當向量間夾角小於90°時它們的點乘為正，那麼只需做投影然後檢查：

123	bool isInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {    return (p - p0).dot(dir) >= 0;}

 

例9——迫使一點在半平面內

和上面範例相似，但是不僅僅是檢查，如果投影小於0的話，我們使用它將目標-投影移動到dir方向，這樣目標點就在半平面的邊緣了。

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Vector2f makeInsideHalfPlane(Vector2f p, Vector2f p0, Vector dir) {    float proj = (p - p0).dot(dir);    if (proj >= 0) return p;    else return p - proj * dir;}

 

例10——檢查/迫使一點在一凸多面體內。

一個凸多面體可以被定義為多個半平面相交所得結果，每個交線作為多面體的邊。它們的p0是邊上的頂點，它們的dir是邊的內面法線向量（例如，如果你按順時針方向走，那就是turnRight（）法向）。一個點在多面體內部若且唯若它在所有的半平面內。同樣地，你可以迫使它在多面體內（通過移動到最靠近的邊）通過對所有半平面運用makeInsideHalfPlane 演算法。[哎呀！其實只有當所有角度>=90°時才管用]

 

例11——按照給定法線反射一個向量

彈球類遊戲，球撞向一個斜牆面。已知球的速度向量和牆的法向量（見例5）。現實情況下它會如何反彈？簡單！只需反射球的法向速度，保持它的切向速度即可。

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Vector2f vel = getVel();Vector2f dir = getWallNormal(); // Make sure this is a unit vectorVector2f velN = dir * vel.dot(dir); // Normal componentVector2f velT = vel - velN; // Tangential componentVector2f reflectedVel = velT - velN;

想要更貼近現實，你可以將velT和velN分別乘以一個代表摩擦力和恢複係數的常數。

 

例12——抵消沿軸的運動

有時我們需要將運動限制在一個給定座標軸內。思路和上面相同：將速度分解到法向和切向上，然後僅保留切線速度。這有助於計算沿軌道運動的人的速度。

 

旋轉

例13——點繞定點做旋轉

假設我們有一點，rotate（）會將點按原點進行旋轉。這很有趣，但是也有限制。按任意一定點旋轉簡單而且實用——只需用點減去定點，也就是將定點平移到原點，然後旋轉，然後再把定點加回去。

123	Vector2f rotateAroundPivot(Vector2f p, Vector2f pivot) {    return (pos - pivot).rotate(angle) + pivot;}

 

例14——判斷向哪一方向旋轉

假設我們有一個角色想要轉身面向敵人。已知他的方向和面向敵人的方向。那麼他應該向左轉還是向右轉？叉乘給出了簡單的答案：curDir.cross（targetDir）返回正數如果你應該左轉，負數如果你應該右轉（返回0如果已經面對他了或者180°背對他）。

 

其他幾何樣本

有一些其它實用的例子，其中沒有過多使用向量，但是很有用：

 

例15——等距空間到螢幕座標

等距遊戲中，你知道世界的（0,0）在螢幕的什麼位置（讓我們稱之為原點，使用一個向量代表它），但是你如何知道（x，y）在螢幕的什麼位置呢？首先，你需要兩個代表座標基的向量，新x軸和新y軸。對於一個典型的等距遊戲來說，它們可以是bx=Vector2f（2，1）和by=Vector2f（-2，1）——它們不一定是單位向量。現在，一切都簡單了。

12	Vector2f p = getWorldPoint();Vector2f screenPos = bx * p.x + by * p.y + origin;

沒錯，的確很簡單。

 

例16——等距螢幕到全局座標

相同情況，但是這次你想要知道滑鼠滑過哪塊兒拼接圖（tile）。這要更複雜一些。我們知道（x’，y’）=（x*bx.x+y*by.x，x*bx.y+y*by.y）+原點，所以可以先減去原點，然後對線性方程求解。使用克拉默法則，我們可以聰明地使用2D叉乘（查看文章開始的定義）進行簡化：

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Vector2f pos = getMousePos() - origin;float demDet = bx.cross(by);float xDet = pos.cross(by);float yDet = bx.cross(pos);Vector2f worldPos = Vector2f(xDet / demDet, yDet / demDet);

 

我看多許多人都在用“找到矩形然後查看位元影像”的方法，現在你不需要了。

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