【轉】網路最大流——EK演算法詳解

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原文  http://blog.csdn.net/a1dark/article/details/11177907

 

EdmondsKarp演算法，簡稱EK演算法，O(m^2n)

   因為是初學教程，所以我會盡量避免繁雜的數學公式和證明。也盡量給出了較為完整的代碼。
本文的目標群體是網路流的初學者，尤其是看了各種NB的教程也沒看懂怎麼求最大流的小盆友們。本文的目的是，解釋基本的網路流模型，最基礎的最大流求法，即bfs找增廣路法，也就是EK法，全名是Edmond-Karp，其實我倒是覺得記一下演算法的全名和來曆可以不時的拿出來裝一裝。 
    比如說這個，EK演算法首先由俄羅斯科學家Dinic在1970年提出，沒錯，就是dinic演算法的創始人，實際上他提出的也正是dinic演算法，在EK的基礎上加入了層次最佳化，這個我們以後再說，1972年Jack Edmonds和Richard Karp發表了沒有層次最佳化的EK演算法。但實際上他們是比1790年更早的時候就獨立弄出來了。 
    你看，研究一下曆史也是很有趣的。 
    扯遠了，首先來看一下基本的網路流最大流模型。 
    有n個點，有m條有向邊，有一個點很特殊，只出不進，叫做源點，通常規定為1號點。另一個點也很特殊，只進不出，叫做匯點，通常規定為n號點。每條有向邊上有兩個量，容量和流量，從i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量則通常是f[I,j]。通常可以把這些邊想象成道路，流量就是這條道路的車流量，容量就是道路可承受的最大的車流量。很顯然的，流量<=容量。而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以類比的想象成沒有儲存功能的貨物的中轉站，所有”進入”他們的流量和等於所有從他本身”出去”的流量。 
    把源點比作工廠的話，問題就是求從工廠最大可以發出多少貨物，是不至於超過道路的容量限制，也就是，最大流。 
    比如這個圖。每條邊旁邊的數字表示它的容量。 
    

   下面我們來考慮如何求最大流。

    首先，假如所有邊上的流量都沒有超過容量(不大於容量)，那麼就把這一組流量，或者說，這個流，稱為一個可行流。一個最簡單的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。 
我們就從這個零流開始考慮，假如有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。那麼，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流，這是顯然的。 
    這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而這條路就叫做增廣路。 
    我們不斷地從起點開始尋找增廣路，每次都對其進行增廣，直到源點和匯點不連通，也就是找不到增廣路為止。當找不到增廣路的時候，當前的流量就是最大流，這個結論非常重要。 
尋找增廣路的時候我們可以簡單的從源點開始做bfs，並不斷修改這條路上的delta量，直到找到源點或者找不到增廣路。 
這裡要先補充一點，在程式實現的時候，我們通常只是用一個c數組來記錄容量，而不記錄流量，當流量+1的時候，我們可以通過容量-1來實現，以方便程式的實現。 
  
Bfs過程的半虛擬碼：下面另給一個C++版的模板 

int BFS(){    int i,j,k,v,u;    memset(pre,-1,sizeof(pre));    for(i=1;i<=n;++i)flow[i]=max_int;    queue<int>que;    pre[start]=0;    que.push(start);    while(!que.empty())    {        v=que.front();        que.pop();        for(i=1;i<=n;++i)        {            u=i;            if(u==start||pre[u]!=-1||map[v][u]==0)continue;            pre[u]=v;            flow[u]=MIN(flow[v],map[v][u]);            que.push(u);        }    }    if(flow[end]==max_int)return -1;    return flow[end];}

 

但事實上並沒有這麼簡單，上面所說的增廣路還不完整，比如說下面這個網路流模型。 

 

我們第一次找到了1-2-3-4這條增廣路，這條路上的delta值顯然是1。於是我們修改後得到了下面這個流。（圖中的數字是容量） 

 

這時候(1,2)和(3,4)邊上的流量都等於容量了，我們再也找不到其他的增廣路了，當前的流量是1。 
但這個答案明顯不是最大流，因為我們可以同時走1-2-4和1-3-4，這樣可以得到流量為2的流。 
那麼我們剛剛的演算法問題在哪裡呢？問題就在於我們沒有給程式一個”後悔”的機會，應該有一個不走(2-3-4)而改走(2-4)的機制。那麼如何解決這個問題呢？回溯搜尋嗎？那麼我們的效率就上升到指數級了。 
而這個演算法神奇的利用了一個叫做反向邊的概念來解決這個問題。即每條邊(I,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量。 
我們直接來看它是如何解決的： 
  
在第一次找到增廣路之後，在把路上每一段的容量減少delta的同時，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同時，inc(c[y,x],delta) 
我們來看剛才的例子，在找到1-2-3-4這條增廣路之後，把容量修改成如下 

 

 

這時再找增廣路的時候，就會找到1-3-2-4這條可增廣量，即delta值為1的可增廣路。將這條路增廣之後，得到了最大流2。 

 

 

那麼，這麼做為什麼會是對的呢？我來通俗的解釋一下吧。 
事實上，當我們第二次的增廣路走3-2這條反向邊的時候，就相當於把2-3這條正向邊已經是用了的流量給”退”了回去，不走2-3這條路，而改走從2點出發的其他的路也就是2-4。（有人問如果這裡沒有2-4怎麼辦，這時假如沒有2-4這條路的話，最終這條增廣路也不會存在，因為他根本不能走到匯點）同時本來在3-4上的流量由1-3-4這條路來”接管”。而最終2-3這條路正向流量1，反向流量1，等於沒有流量。 
這就是這個演算法的精華部分，利用反向邊，使程式有了一個後悔和改正的機會。而這個演算法和我剛才給出的代碼相比只多了一句話而已。 

 

模板如下：

#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=205;const int inf=0x7fffffff;int r[maxn][maxn]; //殘留網路，初始化為原圖bool visit[maxn];int pre[maxn];int m,n;bool bfs(int s,int t)  //尋找一條從s到t的增廣路，若找到返回true{    int p;    queue<int > q;    memset(pre,-1,sizeof(pre));    memset(visit,false,sizeof(visit));    pre[s]=s;    visit[s]=true;    q.push(s);    while(!q.empty())    {        p=q.front();        q.pop();        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(r[p][i]>0&&!visit[i])            {                pre[i]=p;                visit[i]=true;                if(i==t) return true;                q.push(i);            }        }    }    return false;}int EdmondsKarp(int s,int t){   int flow=0,d,i;   while(bfs(s,t))   {       d=inf;       for(i=t;i!=s;i=pre[i])           d=d<r[pre[i]][i]? d:r[pre[i]][i];       for(i=t;i!=s;i=pre[i])       {           r[pre[i]][i]-=d;           r[i][pre[i]]+=d;       }       flow+=d;   }   return flow;}int main(){    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)    {        int u,v,w;        memset(r,0,sizeof(r));///        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            r[u][v]+=w;        }        printf("%d\n",EdmondsKarp(1,n));    }    return 0;}

 

【轉】網路最大流——EK演算法詳解