顧沛《抽象代數》1.3"子群與商群"習題解答

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習題：

4.證明指數為$2$的子群必正規.

證明    設$G$為群且$H<G$且$[G:H]=2$,那麼有左陪集分解

$$G=H\cup aH,a\notin H$$

同樣的一定有右陪集分解

$$G=H\cup Ha$$

顯然$aH=Ha$.由等價類別的代表元之任意性便知$H\lhd G$.

 

5.設$G$是群,$H\lhd G,K\lhd G$且$H\cap K=\{e\}$,證明

$$hk=kh,\forall h\in H,k\in k$$

證明    又正規子群可知

\begin{align*}hk&=k_{1}h=kh_{1}\\\Rightarrow k^{-1}k_{1}&=h_{1}h^{-1}\in H\cap K\end{align*}

易得$k_{1}=k,h_{1}=h$,即$hk=kh$.

 

6.證明任一群都不能表示成其兩個真子群之並.

證明    設群$G=A\cup B$,其中$A,B$均為$G$的真子群.從而存在$g\in A,g\notin B$以及$h\notin A,h\in B$,那麼我們考慮$gh$.顯然$gh$既不在$A$中,也不在$B$中,從而$gh\notin G$,與$G$是群矛盾!

 

8.若群$G$只有一個階為$n$的子群$H$,那麼$H\lhd G$.

證明    $\forall g\in G$,考察$g^{-1}Hg$,不難驗證其仍構成群,且

$$\left|g^{-1}Hg\right|=|H|$$

由$H$的唯一性便知$g^{-1}Hg=H$,從而$H$正規.

補充題：

1.設$H$是整數加群$\mathbb Z$的子群,證明必有$m\in\mathbb Z$使得$H=m\mathbb Z$ .

證明    由於$\mathbb Z=<1>$為迴圈群,從而其任一子群$H$也必為迴圈群,因此存在$m\in\mathbb Z$使得

$$H=<m>=m\mathbb Z$$

由於迴圈群是後面的內容，此處也可用另一方法：若$H=\{0\}$,那麼結論顯然；若$H\neq\{0\}$,則考慮集合

$$S=\{|t|:t\in H,t\neq0\}$$

根據最下自然數原理可知集合$S$有最小值$m$,我們說$H=m\mathbb Z$,否則必然存在某個$n\in H$且$n>m>0$,但是$m\nmid n$,那麼做帶餘除法

$$n=mq+r,0<r<m$$

由於$H$是群,那麼$r\in H$,與$m$的極小性矛盾!

 

2.設$H,K$為群$G$的兩個有限子群,證明

$$|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.$$

證明    注意到$(H\cap K)<H$,設$\frac{|H|}{|H\cap K|}=n$,那麼有左陪集分解

\begin{align*}H&=\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}(H\cap K)\\&=\bigcup_{i=1}^{n}\left(H\cap h_{i}K\right)\tag{1}\\&=H\bigcap\left(\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K\right)\end{align*}

其中(1)式子用到了如下事實:

$$g(H\cap K)=gH\cap gK,g\in G.$$

從而可知$H\subset\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,進一步的

$$HK\subset\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$$

另一方面每個$h_{i}K\subset HK$,從而

$$\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K\subset HK$$

因此$HK=\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,兩邊求階數便得

$$|HK|=n|K|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$$

 

5.設$A,B$是群$G$的兩個子群,證明:

(1)$AB< G$等價於$AB=BA$;

(2)$A,B$中若有一個是正規的,那麼$AB<G$;

(3)若$A,B$均正規,那麼$AB\lhd G$.

證明    (1)必要性：若$AB<G$,那麼

$$AB=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA$$

充分性：設$AB=BA$,那麼對任意的$a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}\in AB$有

\begin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{3}\\&=a_{1}a_{4}b_{4}b_{3}\\&=a_{5}b_{5}\in AB\\\Rightarrow AB&<G.\end{align*}

(2)不是一般性,設$A\lhd G$.同樣的考慮

\begin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{2}^{-1}\\&=a_{1}a_{4}b_{1}b_{2}^{-1}\in AB\\\Rightarrow AB&<G.\end{align*}

(3)由(2)知$AB<G$,$\forall g\in G$,考慮

\begin{align*}gABg^{-1}&=gAg^{-1}gBg^{-1}=AB\end{align*}

從而$AB\lhd G.$