【轉】單雙精確度浮點數的IEEE標準格式

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單雙精確度浮點數的IEEE標準格式

關鍵字:浮點數 IEEE標準

大多數進階語言按照IEEE-754標準來規定浮點數的儲存格式。
IEEE-754規定 單精確度浮點數用4位元組儲存，雙精確度浮點數用8位元組儲存，表示為三部分：符號位、階和尾數。

S+E+M
S 符號位，尾數的符號位；
E 階，即指數；
M 尾數，即有效小數位元；

單精確度格式
符號位 1位, bit31
階     8位，bit30~23
尾數   24位，bit22~0

雙精確度
符號位 1位，bit63
階     11位，bit62~52
尾數   53位，bit51~0

省略位
位元的規格化表示中，小數點前的數（即二進位表示的最高位）為1，故省略之。
所以 float的M 用23位可以表示24位的值，double的M 用52位可以表示53位的值。

階碼
以移碼的形式儲存。對於float位移量為127（7FH），對於double位移量為1023（3FFH）。
儲存浮點數的階碼之前，位移量要先加到階碼上。原因如下：
float的值的二進位科學計數法表示中 階的範圍 ±127， 當一個數“無限”趨近於0，即為 浮點0.
為了保證 浮點0 與 機器0 的儲存表示一樣，階在儲存時加上位移 127

eg
２^3，移碼的結果　在單精確度中為82H（130＝3+127），在雙精確度中為402H（1026＝3+1023）。

浮點數有兩個例外
0.0儲存為全零；
無限大數的階碼儲存為全1，尾數部分全零，符號位指示正無窮或者負無窮。

例子：
float  十進位   規格化(S+E+M)
-12    -1.1x23  1 10000010 1000000  00000000  00000000  
0.25   1.0x2-2  0 01111101 0000000  00000000  00000000 

所有位元組在記憶體中的排列順序
intel的cpu按little endian順序
motorola的cpu按big endian順序排列。

 

 

常用的浮點數儲存格式：32-bit IEEE-754 floating-point format

對於大小為32-bit的浮點數（32-bit為單精確度，64-bit浮點數為雙精確度，80-bit為擴充精度浮點數）， 
1、其第31 bit為符號位，為0則表示正數，反之為複數，其讀數值用s表示； 
2、第30～23 bit為冪數，其讀數值用e表示； 
3、第22～0 bit共23 bit作為係數，視為二進位純小數，假定該小數的十進位值為x； 
十進位轉浮點數的計算方法：則按照規定，十進位的值用浮點數表示為： 
如果十進位為正，則s = 0，否則s = 1；將十進位數表示成二進位，然後將小數點向左移動，直到這個數變為1.x的形式即尾數，移動的個數即位指數。為了保證指數為正，將移動的個數都加上127，由於尾數的整數位始終為1，故捨去不做記憶。

對3.141592654來說，
1、正數，s = 0；
2、3.141592654的二進位形式為正數部分計算方法是除以二取整，即得11，小數部分的計算方法是乘以二取其整數，得0.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000，那麼它的位元表示為11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1；
3、將小數點向左移一位，那麼它就變為1.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，所以指數為1+127=128，e = 128 = 1000 0000；
4、舍掉尾數的整數部分1，尾數寫成0.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，x = 921FB6
5、最後它的浮點是表示為0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1011 0101 = 40490FDA 
浮點數轉十進位的計算方法：

則按照規定，浮點數的值用十進位表示為： 
＝ (-1)^s  * (1 + x) * 2^(e - 127)

對於49E48E68來說， 
1、其第31 bit為0，即s = 0 
2、第30～23 bit依次為100 1001 1，讀成十進位就是147，即e = 147。 
3、第22～0 bit依次為110 0100 1000 1110 0110 1000，也就是二進位的純小數0.110 0100 1000 1110 0110 1000，其十進位形式為(0.110 0100 1000 1110 0110 1000 * 2^23) / (2^23) = (0x49E48E68 & 0x007FFFFF) / (2^23) = (0x648E68) / (2^23) = 0.78559589385986328125，即x = 0.78559589385986328125。

這樣，該浮點數的十進位表示 
=　(-1)^s  * (1 + x) * 2^(e - 127) 
=　(-1)^0  * (1+ 0.78559589385986328125) * 2^(147-127) 
=    1872333

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