對C語言中遞迴演算法的深入解析

   C通過運行時堆棧支援遞迴函式的實現。遞迴函式就是直接或間接調用自身的函數。
     許多教科書都把電腦階乘和菲波那契數列用來說明遞迴，非常不幸我們可愛的著名的老潭老師的《C語言程式設計》一書中就是從階乘的計算開始的函數遞迴。導 致讀過這本經書的同學們，看到階乘計算第一個想法就是遞迴。但是在階乘的計算裡，遞迴並沒有提供任何優越之處。在菲波那契數列中，它的效率更是低的非常恐 怖。

     這裡有一個簡單的程式，可用於說明遞迴。程式的目的是把一個整數從二進位形式轉換為可列印的字元形式。例如：給出一個值4267，我們需要依次產生字元‘4’，‘2’，‘6’，和‘7’。就如在printf函數中使用了%d格式碼，它就會執行類似處理。

     我們採用的策略是把這個值反覆除以10，並列印各個餘數。例如，4267除10的餘數是7，但是我們不能直接列印這個餘數。我們需要列印的是機器字元集中 表示數字‘7’的值。在ASCII碼中，字元‘7’的值是55，所以我們需要在餘數上加上48來獲得正確的字元，但是，使用字元常量而不是整型常量可以提 高程式的可移植性。‘0’的ASCII碼是48，所以我們用餘數加上‘0’，所以有下面的關係：

          ‘0’+ 0 =‘0’
          ‘0’+ 1 =‘1’
          ‘0’+ 2 =‘2’
      　　　    ...

　　從這些關係中，我們很容易看出在餘數上加上‘0’就可以產生對應字元的代碼。接著就列印出餘數。下一步再取商的值，4267/10等於426。然後用這個值重複上述步驟。

　　這種處理方法存在的唯一問題是它產生的數字次序正好相反，它們是逆向列印的。所以在我們的程式中使用遞迴來修正這個問題。

　　我們這個程式中的函數是遞迴性質的,因為它包含了一個對自身的調用。乍一看，函數似乎永遠不會終止。當函數調用時，它將調用自身，第2次調用還將調用自身，以此類推，似乎永遠調用下去。這也是我們在剛接觸遞迴時最想不明白的事情。但是，事實上並不會出現這種情況。

　　這個程式的遞迴實現了某種類型的螺旋狀while迴圈。while迴圈在迴圈體每次執行時必須取得某種進展，逐步迫近迴圈終止條件。遞迴函式也是如此，它在每次遞迴調用後必須越來越接近某種限制條件。當遞迴函式符合這個限制條件時，它便不在調用自身。

在程式中，遞迴函式的限制條件就是變數quotient為零。在每次遞迴調用之前，我們都把quotient除以10，所以每遞迴調用一次，它的值就越來越接近零。當它最終變成零時，遞迴便告終止。

/*接受一個整型值（無符號0，把它轉換為字元並列印它，前置字元為零被刪除*/

#include <stdio.h>

int binary_to_ascii( unsigned int value)
{
          unsigned int quotient;
    
   　　quotient = value / 10;
   　　if( quotient != 0)
       　　　　binary_to_ascii( quotient);
   　　putchar ( value % 10 + '0' );
}

遞迴是如何協助我們以正確的順序列印這些字元呢？下面是這個函數的工作流程。
       1. 將參數值除以10
       2. 如果quotient的值為非零，調用binary-to-ascii列印quotient當前值的各位元字

　　3. 接著，列印步驟1中除法運算的餘數

　　注意在第2個步驟中，我們需要列印的是quotient當前值的各位元字。我們所面臨的問題和最初的問題完全相同，只是變數quotient的 值變小了。我們用剛剛編寫的函數（把整數轉換為各個數字字元並列印出來）來解決這個問題。由於quotient的值越來越小，所以遞迴最終會終止。

　　一旦你理解了遞迴，閱讀遞迴函式最容易的方法不是糾纏於它的執行過程，而是相信遞迴函式會順利完成它的任務。如果你的每個步驟正確無誤，你的限制條件設定正確，並且每次調用之後更接近限制條件，遞迴函式總是能正確的完成任務。

　　但是，為了理解遞迴的工作原理，你需要追蹤遞迴調用的執行過程，所以讓我們來進行這項工作。追蹤一個遞迴函式的執行過程的關鍵是理解函數中所聲 明的變數是如何儲存的。當函數被調用時，它的變數的空間是建立於運行時堆棧上的。以前調用的函數的變數扔保留在堆棧上，但他們被新函數的變數所掩蓋，因此 是不能被訪問的。

　　當遞迴函式調用自身時，情況於是如此。每進行一次新的調用，都將建立一批變數，他們將掩蓋遞迴函式前一次調用所建立的變數。當我追蹤一個遞迴函式的執行過程時，必須把分數不同次調用的變數區分開來，以避免混淆。

　　程式中的函數有兩個變數：參數value和局部變數quotient。下面的一些圖顯示了堆棧的狀態，當前可以訪問的變數位於棧頂。所有其他調用的變數飾以灰色的陰影，表示他們不能被當前正在執行的函數訪問。

假定我們以4267這個值調用遞迴函式。當函數剛開始執行時，堆棧的內容如所示：
 

執行除法之後，堆棧的內容如下：

 
接著，if語句判斷出quotient的值非零，所以對該函數執行遞迴調用。當這個函數第二次被調用之初，堆棧的內容如下：
 

堆棧上建立了一批新的變數，隱藏了前面的那批變數，除非當前這次遞迴調用返回，否則他們是不能被訪問的。再次執行除法運算之後，堆棧的內容如下：
 

quotient的值現在為42，仍然非零，所以需要繼續執行遞迴調用，並再建立一批變數。在執行完這次調用的出發運算之後，堆棧的內容如下：
 

此時，quotient的值還是非零，仍然需要執行遞迴調用。在執行除法運算之後，堆棧的內容如下：
 

 

　　不算遞迴調用語句本身，到目前為止所執行的語句只是除法運算以及對quotient的值進行測試。由於遞迴調用這些語句重複執行，所以它的效果 類似迴圈：當quotient的值非零時，把它的值作為初始值重新開始迴圈。但是，遞迴調用將會儲存一些資訊（這點與迴圈不同），也就好是儲存在堆棧中的 變數值。這些資訊很快就會變得非常重要。

　　現在quotient的值變成了零，遞迴函式便不再調用自身，而是開始列印輸出。然後函數返回，並開始銷毀堆棧上的變數值。

每次調用putchar得到變數value的最後一個數字，方法是對value進行模10取餘運算，其結果是一個0到9之間的整數。把它與字元常量‘0’相加，其結果便是對應於這個數位ASCII字元，然後把這個字元列印出來。

   輸出4：

 

接著函數返回，它的變數從堆棧中銷毀。接著，遞迴函式的前一次調用重新繼續執行，她所使用的是自己的變數，他們現在位於堆棧的頂部。因為它的value值是42，所以調用putchar後列印出來的數字是2。

  輸出42：

 

接著遞迴函式的這次調用也返回，它的變數也被銷毀，此時位於堆棧頂部的是遞迴函式再前一次調用的變數。遞迴調用從這個位置繼續執行，這次列印的數字是6。在這次調用返回之前，堆棧的內容如下：

  輸出426：

 

現在我們已經展開了整個遞迴過程，並回到該函數最初的調用。這次調用列印出數字7，也就是它的value參數除10的餘數。

  輸出4267：

 

然後，這個遞迴函式就徹底返回到其他函數調用它的地點。
如果你把列印出來的字元一個接一個排在一起，出現在印表機或螢幕上，你將看到正確的值：4267

漢諾塔問題遞迴演算法分析：

　　一個廟裡有三個柱子，第一個有64個盤子，從上往下盤子越來越大。要求廟裡的老和尚把這64個盤子全部移動到第三個柱子上。移動的時候始終只能小盤子壓著大盤子。而且每次只能移動一個。

　　1、此時老和尚（後面我們叫他第一個和尚）覺得很難，所以他想：要是有一個人能把前63個盤子先移動到第二個柱子上，我再把最後一個盤子直接移 動到第三個柱子，再讓那個人把剛才的前63個盤子從第二個柱子上移動到第三個柱子上，我的工作就完成了，簡單。所以他找了比他年輕的和尚（後面我們叫他第 二個和尚），命令：

          ① 你丫把前63個盤子移動到第二柱子上

          ② 然後我自己把第64個盤子移動到第三個柱子上後

          ③ 你把前63個盤子移動到第三柱子上

      2、第二個和尚接了任務，也覺得很難，所以他也和第一個和尚一樣想：要是有一個人能把前62個盤子先移動到第三個柱子上，我再把最後一個盤子直接移動到第 二個柱子，再讓那個人把剛才的前62個盤子從第三個柱子上移動到第三個柱子上，我的工作就完成了，簡單。所以他也找了比他年輕的和尚（後面我們叫他第三和 尚），命令：

          ① 你把前62個盤子移動到第三柱子上

          ② 然後我自己把第63個盤子移動到第二個柱子上後

          ③ 你把前62個盤子移動到第二柱子上

　　3、第三個和尚接了任務，又把移動前61個盤子的任務依葫蘆話瓢的交給了第四個和尚，等等遞推下去，直到把任務交給了第64個和尚為止（估計第64個和尚很鬱悶，沒機會也命令下別人，因為到他這裡盤子已經只有一個了）。

　　4、到此任務下交完成，到各司其職完成的時候了。完成回推了：

第64個和尚移動第1個盤子，把它移開，然後第63個和尚移動他給自己分配的第2個盤子。
第64個和尚再把第1個盤子移動到第2個盤子上。到這裡第64個和尚的任務完成，第63個和尚完成了第62個和尚交給他的任務的第一步。

　　從上面可以看出，只有第64個和尚的任務完成了，第63個和尚的任務才能完成，只有第2個和尚----第64個和尚的任務完成後，第1個和尚的任務才能完成。這是一個典型的遞迴問題。 現在我們以有3個盤子來分析：

第1個和尚命令：

          ① 第2個和尚你先把第一柱子前2個盤子移動到第二柱子。（藉助第三個柱子）

          ② 第1個和尚我自己把第一柱子最後的盤子移動到第三柱子。

          ③ 第2個和尚你把前2個盤子從第二柱子移動到第三柱子。

　　　很顯然，第二步很容易實現（哎，人總是自私地，把簡單留給自己，困難的給別人）。

其中第一步，第2個和尚他有2個盤子，他就命令：

          ① 第3個和尚你把第一柱子第1個盤子移動到第三柱子。（藉助第二柱子）

          ② 第2個和尚我自己把第一柱子第2個盤子移動到第二柱子上。

          ③ 第3個和尚你把第1個盤子從第三柱子移動到第二柱子。

　　　同樣，第二步很容易實現，但第3個和尚他只需要移動1個盤子，所以他也不用在下派任務了。（注意：這就是停止遞迴的條件，也叫邊界值）

第三步可以分解為，第2個和尚還是有2個盤子，命令：

          ① 第3個和尚你把第二柱子上的第1個盤子移動到第一柱子。

          ② 第2個和尚我把第2個盤子從第二柱子移動到第三柱子。

          ③ 第3個和尚你把第一柱子上的盤子移動到第三柱子。
                   
分析組合起來就是：1→3 1→2 3→2 藉助第三個柱子移動到第二個柱子 |1→3 自私人留給自己的活| 2→1 2→3 1→3藉助第一個柱子移動到第三個柱子|共需要七步。

如果是4個盤子，則第一個和尚的命令中第1步和第3步各有3個盤子，所以各需要7步，共14步，再加上第1個和尚的1步，所以4個盤子總共需要移動 7+1+7=15步，同樣，5個盤子需要15+1+15=31步，6個盤子需要31+1+31=64步……由此可以知道，移動n個盤子需要（2的n次 方）-1步。

　　　從上面整體綜合分析可知把n個盤子從1座（相當第一柱子）移到3座（相當第三柱子）：

（1）把1座上（n-1）個盤子藉助3座移到2座。
     （2）把1座上第n個盤子移動3座。
（3）把2座上（n-1）個盤子藉助1座移動3座。

下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n個盤子藉助2座移動到3座。

很明顯:    (1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)
               (3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)
用C語言表示出來，就是：
#include <stdio.h>
int method(int n,char a, char b)
{
     printf("number..%d..form..%c..to..%c.."n",n,a,b);
     return 0;
}
int hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
     if( n==1 ) move (1,a,c);
     else
          {
               hanoi(n-1,a,c,b);
               move(n,a,c);
               hanoi(n-1,b,a,c);
          };
     return 0;
}
int main()
{
     int num;
     scanf("%d",&num);
     hanoi(num,'A','B','C');
     return 0;
}