Java資料結構與演算法解析(十三)——優先順序隊列__儲存

               Java資料結構與演算法解析(十三)——優先順序隊列

在很多應用中，我們通常需要按照優先順序情況對待處理對象進行處理，比如首先處理優先順序最高的對象，然後處理次高的對象。最簡單的一個例子就是，在手機上玩遊戲的時候，如果有來電，那麼系統應該優先處理打進來的電話。

在這種情況下，我們的資料結構應該提供兩個最基本的操作，一個是返回最高優先順序對象，一個是添加新的對象。這種資料結構就是優先順序隊列(Priority Queue) 。 定義

優先順序隊列和通常的棧和隊列一樣，只不過裡面的每一個元素都有一個”優先順序”，在處理的時候，首先處理優先順序最高的。如果兩個元素具有相同的優先順序，則按照他們插入到隊列中的先後順序處理。

優先順序隊列可以通過鏈表，數組，堆或者其他資料結構實現。 

優先順序隊列的實現方式 數組

最簡單的優先順序隊列可以通過有序或者無序數組來實現，當要擷取最大值的時候，對數組進行尋找返回即可。 

無序數組實現 
如果使用無序數組，那麼每一次插入的時候，直接在數組末尾插入即可，時間複雜度為O(1)，但是如果要擷取最大值，或者最小值返回的話，則需要進行尋找，這時時間複雜度為O(n)。

要實現刪除最大元素，可以添加一段類似於選擇排序的內迴圈代碼，將最大元素的和邊界元素交換後刪除它，和對棧的pop()方法的實現一樣。同樣也可以加入調整數組的代碼來達到動態調整數組的目的。

有序數組實現 
如果使用有序數組，那麼每一次插入的時候，通過插入排序將元素放到正確的位置，時間複雜度為O(n)，但是如果要擷取最大值的話，由於元阿蘇已經有序，直接返回數組末尾的 元素即可，所以時間複雜度為O(1).

在insert方法中添加代碼，將所有較大的元素向右邊移動一格以使數組保持有序（和插入排序一樣）。這樣，最大的元素總會在數組的一邊，刪除最大元素，只需要像棧的pop()一樣就可以了。。

所以採用普通的數組或者鏈表實現，無法使得插入和排序都達到比較好的時間複雜度。所以我們需要二元堆積(binary heap)來實現優先順序隊列 鏈表標記法

我們還可以使用基於鏈表的下壓棧的代碼作為基礎，而後可以選擇修改pop()來找到並返回最大元素，或是修改push()來保證所有元素的逆序並用pop()來刪除並返回鏈表的首元素。 
二元堆積

二元堆積是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即子結點的索引值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。 有了這一性質，那麼二元堆積上最大值就是根節點了。

二元堆積的表現形式：我們可以使用數組的索引來表示元素在二元堆積中的位置。

從二元堆積中，我們可以得出：

· 元素k的父節點所在的位置為[k/2]

· 元素k的子節點所在的位置為2k和2k+1

跟據以上規則，我們可以使用二維數組的索引來表示二元堆積。通過二元堆積，我們可以實現插入和刪除最大值都達到O(nlogn)的時間複雜度。

對於堆來說，最大元素已經位於根節點，那麼刪除操作就是移除並返回根節點元素，這時候二元堆積就需要重新排列；當插入新的元素的時候，也需要重新排列二元堆積以滿足二元堆積的定義。

從下至上的堆有序變化 
如果一個節點的值大於其父節點的值，那麼該節點就需要上移，一直到滿足該節點大於其兩個子節點，而小於其根節點為止，從而達到使整個堆實現二元堆積的要求。

我們只需要將該元素k和其父元素k/2進行比較，如果比父元素大，則交換，然後迭代，一直到比父元素小為止。

private static void Swim(int k){    //如果元素比其父元素大，則交換    while (k > 1 && pq[k].CompareTo(pq[k / 2]) > 0)    {        Swap(pq, k, k / 2);        k = k / 2;    }}

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這樣，往堆中插入新元素的操作變成了，將該元素從下往上重建立堆操作： 

代碼實現如下：

public static void Insert(T s){    //將元素添加到數組末尾    pq[++N] = s;    //然後讓該元素從下至上重建堆    Swim(N);}

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由上至下的堆有序變化 
當某一節點比其子節點要小的時候，就違反了二元堆積的定義，需要和其子節點進行交換以重建立堆，直到該節點都大於其子節點為止：

private static void Sink(int k){    while (2 * k < N)    {        int j = 2 * k;        //去左右子節點中，稍大的那個元素做比較        if (pq[j].CompareTo(pq[j + 1]) < 0) j++;        //如果父節點比這個較大的元素還大，表示滿足要求，退出        if (pq[k].CompareTo(pq[j]) > 0) break;        //否則，與子節點進行交換        Swap(pq, k, j);        k = j;    }}

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這樣，移除並返回最大元素操作DelMax可以變為：

移除二元堆積根節點元素，並返回

將數組中最後一個元素放到根節點位置

然後對新的根節點元素進行Sink操作，直到滿足二元堆積要求。

移除最大值並返回的操作如下圖所示：

public static T DelMax(){    //根項目從1開始，0不存放值    T max = pq[1];    //將最後一個元素和根節點元素進行交換    Swap(pq, 1, N--);    //對根節點從上至下重建立堆    Sink(1);    //將最後一個元素置為空白    pq[N + 1] = default(T);    return max;}

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多叉堆

基於用數組表示的完全三叉樹構造堆並修改相應的代碼並不難，對應數組中1至N的N個元素，位置k的結點大於大於等於3k-1,3k，3k+1的結點，小於位於[(k+1)/3]下取整的結點。 d叉堆

完全d叉樹，根最小。儲存時使用層序。 

操作跟二元堆積基本一致：insert,deleteMin,增大元素，減小元素，刪除非頂元素，merge。

二元堆積與d叉堆的對比：