Bezier曲線原理及實現代碼（c++）

一、原理：

       貝茲路徑於1962年，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝茲路徑來為汽車的主體進行設計。貝茲路徑最初由 Paul de Casteljau 於1959年運用 de Casteljau 演算法開發，以穩定數值的方法求出貝茲路徑。

線性貝茲路徑

給定點 P0、P1，線性貝茲路徑只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：

且其等同於線性插值。

二次方貝茲路徑的路徑由給定點 P0、P1、P2 的函數 B(t) 追蹤：

。

TrueType 字型就運用了以貝塞爾樣條組成的二次方貝茲曲線。

P0、P1、P2、P3 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於 P0 走向 P1，並從 P2 的方向來到 P3。一般不會經過 P1 或 P2；這兩個點只是在那裡提供方向資訊。 P0 和 P1 之間的間距，決定了曲線在轉而趨進 P3 之前，走向 P2 方向的“長度有多長”。

曲線的參數形式為：

。

現代的成象系統，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝塞爾樣條組成的三次貝茲路徑，用來描繪曲線輪廓。

一般化

 

 

 

 

P0、P1、…、Pn，其貝茲路徑即

。

例如 ：

。

如上公式可如下遞迴表達： 用 表示由點 P0、P1、…、Pn 所決定的貝茲路徑。則

用平常話來說， 階貝茲路徑之間的插值。

一些關於參數曲線的術語，有

即多項式

又稱作 n 階的伯恩斯坦基底多項式，定義 00 = 1。

點 Pi 稱作貝茲路徑的控制點。多邊形以帶有線貝塞爾點串連而成，起始於 P0 並以 Pn 終止，稱作貝塞爾多邊形（或控制多邊形）。貝塞爾多邊形的凸包（convex hull）包含有貝茲路徑。

線性貝茲路徑函數中的 t 會經過由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲線。例如當 t=0.25 時，B(t) 即一條由點 P0 至 P1 路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續 t，B(t) 描述一條由 P0 至 P1 的直線。

為建構二次方貝茲曲線，可以中介點 Q0 和 Q1 作為由 0 至 1 的 t：

• 由 P0 至 P1 的連續點 Q0，描述一條線性貝茲路徑。
• 由 P1 至 P2 的連續點 Q1，描述一條線性貝茲路徑。
• 由 Q0 至 Q1 的連續點 B(t)，描述一條二次方貝茲曲線。
•  

為建構高階曲線，便需要相應更多的中介點。對於三次曲線，可由線性貝茲路徑描述的中介點 Q0、Q1、Q2，和由二次曲線描述的點 R0、R1 所建構：

對於四次曲線，可由線性貝茲路徑描述的中介點 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次方貝茲曲線描述的點 R0、R1、R2，和由三次貝茲路徑描述的點 S0、S1 所建構：

P(t)=(1-t)P0+tP1 , 。
矩陣表示為：
　　， 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩陣表示為：
　　， 。

　　P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩陣表示為：
， 。
（6－3－2）
， 。
在（6－3－2）式中，Mn+1是一個n＋1階矩陣，稱為n次Bezier矩陣。
（6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我們可以得到任意次Bezier矩陣的顯式表示，例如4次和5次Bezier矩陣為：
，

可以證明，n次Bezier矩陣還可以表示為遞推的形式：
（6－3－4）
 

二、演算法（c++）

工程目錄是:Win32App
vc6.0

#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
    MSG msg;
    static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier樣條計算公式由法國雷諾汽車公司的工程師Pierm Bezier於六十年代提出");
    HWND hwnd;
    WNDCLASS wc;
    wc.cbClsExtra =0;
    wc.cbWndExtra =0;
    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
    wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
    wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
    wc.hInstance = hInstance;
    wc.lpfnWndProc = Winproc;
    wc.lpszClassName = szClassName;
    wc.lpszMenuName = NULL;
    wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

    if(!RegisterClass(&wc))
    {
        MessageBox(NULL,TEXT("註冊失敗"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
        return 0;
    }
    hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
                        WS_OVERLAPPEDWINDOW,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        NULL,NULL,hInstance,NULL);

    ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
    UpdateWindow(hwnd);

    while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
    {
        TranslateMessage(&msg);
        DispatchMessage(&msg);
    }
    return msg.wParam;
}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
  PAINTSTRUCT ps;
  HDC hdc;
  static POINT pt[NUM];
  TEXTMETRIC tm;
  static int cxClient,cyClient;
  HPEN hpen;
  int i,j,k,n,t;

  switch(message)
  {
  case WM_CREATE:
      static int cxchar;
      hdc = GetDC(hwnd);
      GetTextMetrics(hdc,&tm);
      cxchar = tm.tmAveCharWidth;
      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:
       cxClient = LOWORD(lparam);
      cyClient = HIWORD(lparam);
      return 0;
  case WM_PAINT:
       hdc = GetDC(hwnd);
       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
      for(i=0; i<500; i++)
          {
            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(j=0; j<NUM; j++)
            {
                pt[j].x = rand()%cxClient;
                pt[j].y = rand()%cyClient;
            }
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(k=0; k<50000000;k++);
          }
      for(i=0; i<100;i++)
      {
        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

        Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;

      }
       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;  
        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
        ReleaseDC(hwnd,hdc);
          DeleteObject(hpen);
          ValidateRect(hwnd,NULL);
   return 0;

  case WM_DESTROY:
      PostQuitMessage(0);
      return 0;
  }
  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}