python----動態規劃

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不能放棄治療,每天都要進步！！

什麼時候使用動態規劃呢？

1. 求一個問題的最優解 
2. 大問題可以分解為子問題，子問題還有重疊的更小的子問題 
3. 整體問題最優解取決於子問題的最優解（狀態轉移方程） 
4. 從上往下分析問題，從下往上解決問題 
5. 討論底層的邊界問題

執行個體1：割繩子問題

題目：給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段 (m和n都是整數，n>1並且m>1)每段繩子的長度記為k[0],k[1],…,k[m]. 請問k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18.

思路：f(n)=max{f(i)f(n-i)}，想發與實現是2個方法，想的時候是遞迴，實現的時候是從底層至最上面。

實現：1米最1，2米最大是2,3米最大是3,4米最大是4，依次類推，求n米的最大切割

演算法複雜度O（n2）

# -*- coding: utf-8 -*def maxCutString(length):#這三行代表輸入的繩子長度為1,2,3時，發生切割動作，最大的乘積        if length < 2:                return 0        if length == 2:                return 1　　　　　if length == 3：　　　　　　　　　 return 2#繩子不斷切割，當切割到長度為1,2,3時，不能繼續切割，直接返回1,2.3        arr=[0,1,2,3]#記錄繩子長度為i時候的最大乘積arr[i]        for i in range(4,length+1):                maxs=0                for j in range(1,i/2+1):                        mult=arr[j]*arr[i-j]                        if maxs<mult:                                maxs=mult                arr.append(maxs)        return arr[length]print maxCutString(8）

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執行個體2：最大連續子項和

思路：

實現：maxtmp記錄臨時子項和，遇到的每一個數不斷累加；當maxtmp為負時，清空，從下一個數開始，從新累加；當累加的數大於maxsum時，將值賦給maxsum

複雜度：O(n)

#-*- coding: utf-8 -*#!usr/bin/pythondef maxSum(lists):        maxsum=0        maxtmp=0        for i in range(len(lists)):                if maxtmp<=0:                        maxtmp=lists[i]                else:                        maxtmp+=lists[i]                if maxtmp > maxsum:                        maxsum=maxtmp        return maxsumlists=[1,3,-3,4,-6,5]print maxSum(lists)

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還有一種暴力求解，雙層遍曆，複雜度O(n2)

#-*- coding: utf-8 -*#!usr/bin/pythondef maxSum(lists):        maxsum=0        for i in range(len(lists)):                maxtmp=0                for j in range(i,len(lists)):                        maxtmp+=lists[j]                        if maxtmp > maxsum:                                maxsum=maxtmp        return maxsumlists=[1,3,-3,4,-6,5]print maxSum(lists)

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執行個體3：放蘋果

把M個同樣的蘋果放在N個同樣的盤子裡，允許有的盤子空著不放，問共有多少種不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一種分法。

思路：f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 

設f(m,n) 為m個蘋果，n個盤子的放法數目，則先對n作討論，

 當n>m：必定有n-m個盤子永遠空著，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　

當n<=m：不同的放法可以分成兩類：

　　　　1、有至少一個盤子空著，即相當於f(m,n) = f(m,n-1); 

 　　　　2、所有盤子都有蘋果，相當於可以從每個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不同放法的數目，即f(m,n) = f(m-n,n).

 而總的放蘋果的放法數目等於兩者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 

 遞迴出口條件說明：

　　　　1.當n=1時，所有蘋果都必須放在一個盤子裡，所以返回１；

      2.當沒有蘋果可放時，定義為１种放法；

　　　　　　遞迴的兩條路，第一條n會逐漸減少，終會到達出口n==1;

 　　　　　 第二條m會逐漸減少，因為n>m時，我們會return f(m,m)　所以終會到達出口m==0

#!usr/bin/pythondef f(m,n):    if (m==0 or n==1):        return 1    if m<n:        return f(m,m)    else:        return f(m,n-1)+f(m-n,n)lines=map(int,raw_input().strip().split())print f(lines[0],lines[1])

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 執行個體四：青蛙跳台階問題

 1.如果青蛙可以一次跳 1 級，也可以一次跳 2 級。問要跳上第 n 級台階有多少種跳法？思路:f(n)=f(n-1)+f(n-2)             第n層級只能由n-1層級和第n-2層級的青蛙跳到

#-*- conding: utf-8 -*#遞迴解法def f(n):    if n==1:        return 1    elif n==2:        return 2    else:        return f(n-1)+f(n-2)print f(8)#自下到上解法def f2(n):    arr=[0,1,2]    for i in range(3,n+1):        tmp=arr[i-1]+arr[i-2]        arr.append(tmp)    return arr[n]print f2(8)

View Code 2.如果青蛙可以一次跳 1 級，也可以一次跳 2 級，一次跳 3 級，…，一次跳 nn 級。問要跳上第 n級台階有多少種跳法？ 

#.*. coding:utf-8 -*#遞迴解法def f(n):    if n==1:        return 1    else:        return 2*f(n-1)print f(8)#自下而上解法def f2(n):    arr=[0,1,2]    for i in range(3,n+1):        tmp=2*arr[i-1]        arr.append(tmp)    return arr[n]print f2(8)

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