Python素數篩選法

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• 原理：

原理：

　　素數，指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數。在加密應用中起重要的位置，比如廣為人知的RSA演算法中，就是基於大整數的因式分解難題，尋找兩個超大的素數然後相乘作為密鑰的。一個比較常見的求素數的辦法是埃拉托斯特尼篩法(the
Sieve of Eratosthenes) ，說簡單一點就是畫表格，然後刪表格，：

　　從2開始依次往後面數，如果當前數字一個素數，那麼就將所有其倍數的數從表中刪除或者標記，然後最終得到所有的素數。

有一個最佳化：

標記2和3的倍數的時候，6被標記了兩次。所以從i的平方開始標記，減少很多時間。

比如3的倍數從9開始標記，而不是6，並且每次加6。

除了2以外，所有素數都是奇數。奇數的平方還是奇數，如果再加上奇數就變成了偶數一定不會是素數，所以加偶數(2倍素數)。

預先處理了所有偶數。

注意：1既不是素數也不是合數，這裡沒有處理1。

 

#! prime.pyimport timedef primes(n):  P = []  f = []  for i in range(n+1):    if i > 2 and i%2 == 0:      f.append(1)    else:      f.append(0)  i = 3  while i*i <= n:    if f[i] == 0:      j = i*i      while j <= n:        f[j] = 1        j += i+i    i += 2  P.append(2)  for i in range(3,n,2):    if f[i] == 0:      P.append(i)  return Pdef isPrime(n):  if n > 2 and n%2 == 0:    return 0  i = 3  while i*i <= n:    if n%i == 0:      return 0    i += 2  return 1def primeCnt(n):  cnt = 0  for i in range(2,n):    if isPrime(i):      cnt += 1  return cntif __name__ == '__main__':  start = time.clock()  n = 10000000  P = primes(n);  print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n))  #for i in range(10):  #  print(P[i])  print("Time: %f"%(time.clock()-start))  #for n in range(2,100000):  #  if isPrime(n):  #    print("%d is prime"%n)    #print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime"))  start = time.clock()  n = 1000000  print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n))  print("Time: %f"%(time.clock()-start)

用素數篩選法求1千萬以內的素數用了5.767s，

普通素數判斷法求1百萬以內的素數用了9.642s，

用C++素數篩選法求1億以內的素數用了0.948s，

用C++普通素數判斷法求1千萬以內的素數用了3.965s，

可見解釋語言確實比編譯語言慢很多。

附C++程式，用了位壓縮最佳化空間

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;#define N 100000001unsigned f[(N>>5)+5];int p[5761456],m;void init(){int i,j;for(i=4;i<N;i+=2)f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);p[m++]=2;for(i=3;i*i<N;i+=2)if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F)))){p[m++]=i;for(j=i*i;j<N;j+=i+i)f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);}for(;i<N;i+=2)if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))p[m++]=i;}int is_prime(int n){int i;for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)if(n%p[i]==0)return 0;return 1;}int isPrime(int n){if(n>2 && n%2==0)return 0;int i=3;while(i*i<=n){if(n%i==0)return 0;i+=2;}return 1;}int main(){int n=0,i;clock_t st=clock();init();/*for(i=2;i<10000000;i++)if(isPrime(i))n++;*/printf("%d %dms\n",m,clock()-st);/*while(~scanf("%d",&n),n){i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;printf("%d\n",i);}*/    return 0;}