排序演算法：heap sort（含heap介紹，python）

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heap介紹

binary heap可以被看成是一種接近完成的binary tree。可以分為max-heap和min-heap，max-heap的parent要比children大，min-heap相反。
通常用array A構成的heap中，有兩個基本的特性：1. A.length，給出了陣列中的元素個數。2. A.heap-size，給出陣列中在heap中的元素。
這兩者的區別是，A.heap-size中的才是在heap裡的，A.length的長度可能還包含了其他的很多元素。
這個可以在之後的代碼中可以看見。比如有一個list有8個元素，但只有前7個元素在heap裡，滿足heap的特性，則A.length=8, A.heap-size=7。
heap與array的如下。

一些特性：

1. 對於每個節點，要想知道其父與子，有以下關係：
   PARENT(i)
   return[i/2]
   LEFT(i)
   return[2i]
   RIGHT(i)
   return(2i+1)
   注意，這裡的i是從1開始的，在實際寫代碼是，一般的list序列都是從0開始，要注意兩者之間的不同。這個在之後的代碼中會有體現。

2. 要把一個A[1...n]轉化成heap，在A([n/2]+1...n)中的所有元素都是heap的葉子。

3. 保持max-heap特性的操作

這個函數結合build Max heap 是保持整個heap特性的關鍵。下面討論具體的實現方法

建立一個max heap

首先要實現從某一個節點開始的max heap
演算法如下：

此過程的時間複雜度為o(logn）
在此基礎上，建立一個max heap的演算法如下：

此過程的時間複雜度為o(nlogn）

heap的priority-queue運算

prority-queue是一種資料結構，它的每一個元素都有一個key值，主要有以下幾種運算，其使用heap實現的演算法如下。
插入一個元素

此過程的時間複雜度為o(logn）
增加一個元素的值

此過程的時間複雜度為o(logn）
提取最大元素

此過程的時間複雜度為o(logn）

從中可以看到heap的一個重要特性，就是它可以將所有priority-queue運算在時間複雜度lgn內完成。

heap的應用：heap sort

整個過程分為

1. 建立heap
2. 提取最大值
3. 放在序列最後
4. 重複指導排序完成
   具體演算法如下：
   

實現

#heapclass heap(object):    def __init__(self,A):        """        A is a list        """        # self.list = [0]        self.list = A[:]        # self.list.insert(0,0)        self.heapsize = len(A)        # self.ismaxheap = False        self.build_max_heap()    def __str__(self):        return str(self.list)    def left(self, i):        return 2*(i+1)-1    def right(self, i):        return 2*(i+1)    def parent(self, i):        return (i-1)/2    def insert(self, key):        """        run time o(logn)        """        self.heapsize += 1        self.list.append(-float("inf"))        self.increase_key(self.heapsize-1,key)    def increase_key(self,i,key):        """        run time o(logn)        """        if key < self.list[i]:            raise ValueError("new key is smaller than current key")        self.list[i] = key        while i>0 and self.list[self.parent(i)] < self.list[i]:            # print("i1="+str(i))            temp = self.list[i]            self.list[i] = self.list[self.parent(i)]            self.list[self.parent(i)] = temp            i = self.parent(i)            # print("i2="+str(i))    def max_heapify(self, i):        """        run time: o(logn)        the key to maintain the max-heap property        """        l = self.left(i)        r = self.right(i)        # i_m = i        # largest = 0        # print("l="+str(l)+" r="+str(r))        # print(self.heapsize)        largest = i        if l < self.heapsize:            if self.list[l] > self.list[i]:                largest = l        # print("r="+str(r)+" largest="+str(largest))        if r < self.heapsize:            if self.list[r] > self.list[largest]:                largest = r        # print("largest="+str(largest))        if largest != i:            temp = self.list[i]            self.list[i] = self.list[largest]            self.list[largest] = temp            self.max_heapify(largest)    def build_max_heap(self):        """        run time: o(nlogn)        """        # print(self.heapsize//2)        for i in range(self.heapsize//2-1,-1,-1):            # print(i)            self.max_heapify(i)        # self.ismaxheap = True    def extract_max(self):        """        build a maxheap and return the max value of it(the first element)        also pop the first element out of the heap        run time o(logn)        """        if self.heapsize < 1:            raise ValueError("heap underflow")        # if self.ismaxheap == False:            # self.build_max_heap()        maxele = self.list[0]        self.list[0] = self.list[self.heapsize-1]        self.list[self.heapsize-1] = maxele        self.heapsize -= 1        self.max_heapify(0)        return maxele    def heap_sort(self):        """        using recurrence to impelete, can also use for loop        """        if self.heapsize == 1:            return self.list        self.build_max_heap()        temp = self.list[0]        self.list[0] = self.list[self.heapsize-1]        self.list[self.heapsize-1] = temp        self.heapsize -= 1        self.heap_sort()A = [3,4,5,7,1,4,9]heap1 = heap(A)print(heap1)heap1.insert(2)print(heap1)print(heap1.heapsize)maxele = heap1.extract_max()print(maxele)print(heap1)print(heap1.heapsize)heap1.increase_key(3,10)print(heap1)print(heap1.heapsize)heap1.heap_sort()print(heap1)print(heap1.heapsize)

排序演算法：heap sort（含heap介紹，python）