Which Way Did the Bicycle Go 趣題選（下）

 

23. 一些硬幣互不重疊地放在桌上。四色定理告訴我們，若要對硬幣進行染色，使得挨在一起的硬幣顏色不同的話，最多隻需要四種顏色就可以了。存在至少需要四種顏色的構造嗎？

 

答案：存在。，若只允許三種顏色的話， A 的顏色必須與所有陰影硬幣顏色相同， B 的顏色也必須與所有陰影硬幣顏色相同， A 、 B 將會同色。

  

 
 

24. 用火柴棍拼一個所有頂點的度均為 3 的平面圖。注意，圖的頂點只能由火柴棍的端點構成。

 

答案：。

  

 
 

25. 圓周上有 2n 個等分點，每兩點之間連一條邊，構成一個完全圖 K_2n 。是否存在一個 Hamilton 迴路，使得圖中經過的邊互不平行？

 

答案：不存在這樣的迴路。把 2n 個頂點從 1 到 2n 順次編號，並定義一條邊的方向值為兩端點的編號之和。顯然，兩條邊平行若且唯若它們的方向值模 2n 同餘。假設有一條 Hamilton 迴路使得途中任意兩邊都不平行，則這些邊的方向值只可能恰好為 1, 2, ..., 2n (mod 2n)，它們的和為 1 + 2 + ... + 2n = 2n^2 + n ≡ n (mod 2n) 。另外，由於這是一條 Hamilton 迴路，因此整條路所經過的邊的方向值之和為 2 * (1 + 2 + ... + 2n) = 4n^2 + 2n ≡ 0 (mod 2n) ，矛盾。

 
 

26. 證明：對任意正整數 n ，從 1 到 10^n 中的總數字個數等於從 1 到 10^(n+1) 中數字 0 出現的次數。

 

答案：對於 1 到 10^n 中每個數，列出所有在中間插入一個 0 後可以得到的數，構成一個新的數列：

    10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 100, 101, 110, 102, 120, ...

由於對於一個 k 位元來說，在中間插入一個 0 有 k 種方法，因此數列的總項數就等於 1 到 10^n 中的總數字個數。下面我們只需說明，數列的總項數也等於 1 到 10^(n+1) 中數字 0 出現的次數。這是因為數列中的所有數顯然都不超過 10^(n+1) ，並且顯然一個數有幾個 0 ，它就在該數列中出現了幾次。

 
 

27. 經過一個公用點的 n 個平面（但任意三個平面不過同一直線）把空間分為了多少塊？

 

答案：以這個公用點為球心做一個球面，我們要求的即是球面被切分出來的地區數。在這個球面上利用 Euler 公式 V - E + F = 2 ，我們能很快求出 F 的值。由於每對大圓有兩個交點，因此 V = 2 * C(n, 2) ；由於每個頂點的度都為 4 ，因此 E = 4V/2 = 2V。於是 F = E - V + 2 = 2V - V + 2 = V + 2 = n^2 - n + 2。
利用 Euler 公式還可以瞬間秒殺下面這個經典問題： n 個圓最多可以把平面分成多少塊？由於每兩個圓之間都有兩個交點，因此頂點數 V = n(n - 1) ；由於每個圓被切成了 2(n - 1) 條弧，因此 E = 2n(n - 1) 。於是， F = E - V + 2 = 2n(n - 1) - n(n - 1) + 2 = n^2 - n + 2 。
注意到，上述兩個問題答案是一樣的。其實，這並不是巧合。把前一個問題中的球面從北極點投影到與南極點相切的平面上，你就會發現這兩個問題其實是一回事。

 
 

28. 證明：當 m 、 n 互質時， m×n 的棋盤的對角線恰好穿過 m + n - 1 個格子。

  

 

答案：由於 m 、 n 互質，顯然對角線不會穿過交叉點。而從左下角到右上方必須要經過 m - 1 條豎直線和 n - 1 條水平線，因此對角線與棋盤必然有 m + n - 2 個交點，即它穿過了 m + n - 1 個格子。該結論可擴充為： m×n 的棋盤的對角線恰好穿過 m + n - gcd(m, n) 個格子。

 
 

29. 在空間中放置 8 個點，使得對於任意三個點，它們之間的三條線段中至少有兩條一樣長。換句話說，這 8 個點確定的所有三角形（包括退化成線的三角形）都是等腰三角形。

 

答案：在 x-y 平面作一個單位圓，標出它的五等分點。另外三個點放在 (0, 0, 0) 、 (0, 0, -1) 和 (0, 0, 1) 處。

  

 
 

30. 證明：每組對邊都相等的四面體中，每個面都是銳角三角形。

  

 

答案：把三角形 △PQR 和 △PSR 想象成是由轉軸 PR 串連的兩個三角形木板， QS 是一條橡皮筋。旋轉 △PSR 使得 △PSR 和 △PQR 位於同一平面，橡皮筋 QS 將被拉長到 d 。此時，整個圖形變成了一個平行四邊形。由於對角線 d > c ，因此 ∠PQR < 90° 。同理可知，四面體中的每個角都小於 90° 。

  

 
 

31. 對於空間中的點集 E ，把所有點對確定的直線所構成的點集記作 L(E) 。如果 V 是一個正四面體的四個頂點，那麼 L(V) 就是該四面體的六條邊所在的直線所組成的點集。請問： L(L(V)) 是否包含了空間中所有點？

 

答案：不是。，設想一個由正方體六個面的對角線構成的正四面體。下面我們說明， P 點不在 L(L(V)) 中。首先，在四面體中相鄰的邊上取點，確定出來的直線始終在四面體的面上，不會過 P 點；在對邊上取點構成的連線也不會過 P ，比方說 P 與紅色直線上的點構成的連線只可能在正方體的頂面，不可能與藍色直線有公用點。

  

可以證明，唯一不在 L(L(V)) 中的點就是正方體中不在四面體上的另外四個頂點。

 
 

32. 一幢大樓的底層有 1001 根電線，這些電線一直延伸到大樓樓頂。你需要確定底層的 1001 個線頭和樓頂的 1001 個線頭的對應關係。你有一個電池，一個燈泡，和許多很短的電線。如何只上下樓一次就確定電線線頭的對應關係？

 

答案：對於奇數根電線的情況，都可以採用下面這種做法。在樓下把線頭兩個兩個相接，餘下單獨一個線頭什麼都不接。把這個單出來的線頭標號為 #1 。到樓頂找出和誰接都不構成迴路的導線，它就是 #1 。在剩下的導線中測出能構成迴路的導線對，並標號為 (#2, #3) ， (#4, #5) ，…… 。接下來，把 #1 和 #2 相接， #3 和 #4 相接，依此類推，讓 #1001 單著。到樓下拆掉原有的串連，然後從 #1 開始順藤摸瓜確定所有對應關係：和 #1 能構成迴路的導線就是 #2 ，原來和 #2 配對的就是 #3 ，和 #3 能構成迴路的就是 #4 ，依此類推。

 
 

33. 桌子上有 15 張大小形狀任意的紙，它們完全覆蓋了整個案頭。這些紙可能有重疊，也可能伸出案頭。證明：總能從中拿走其中 5 張紙，使得剩下的紙仍然覆蓋了至少 2/3 的案頭。

 

答案：假設紙在放到案頭上之前，案頭上刷滿了紅色顏料。把紙覆蓋上去後，某一些紙（的全部或某些部分）染上了顏色。由於整個案頭被完全覆蓋，因此所有紙上的所有紅色地區面積總和恰好等於案頭面積。如果我們拿掉顏料最少的五張紙，則拿走的顏料面積顯然不會超過 1/3 ，也就是說紙上的紅色面積之和還有至少 2/3 ，即還有至少 2/3 的案頭是被覆蓋了的。

 
 

34. 即使鐘的時針和分針一樣長，大多數時候也能讀出正確的時間來。例如，兩針一個指向 12 一個指向 6 ，那麼前者只能是分針，後者只能是時針。但有時候，時針和分針的位置互換後，所指的時間仍然有意義，我們就說這時的指標位置有歧義。從 0:00 到 12:00 這 12 個小時中，指標位置會產生歧義的時刻有多少個？

 

答案： 132 個。假設有 A 、 B 兩個鐘疊放在一起， A 以正常的速度運轉， B 以 12 倍的速度運轉。因此， B 的時針將永遠與 A 的分針重合。每當 B 的分針與 A 的時針重合時， A 此時所指的時刻就是有歧義的。而 B 的分針比 A 的時針快 144 倍，因此 A 的時針轉了一圈後， B 的分針轉了 144 圈，因此 B 的分針與 A 的時針重合了 143 次。但是，這其中有 11 次是同一個鐘的時針和分針本身就重合的，不會導致歧義，因此真正會導致歧義的有 143 - 11 = 132 個時刻。

 
 

35. Alice 和 Bob 玩猜數遊戲。 Alice 背著 Bob 寫下 n 個正整數 x1, x2, ..., xn 。然後 Bob 選擇 n 個正整數 a1, a2, ..., an 告訴 Alice ， Alice 說出 a1·x1 + a2·x2 + ... + an·xn 的值。接下來， Bob 又選擇另外 n 個正整數 b1, b2, ..., bn ，並獲知 Σbi·xi 的值。如此下去，直到 Bob 能夠推出 Alice 寫下的 n 個數。 Bob 需要多少次詢問就可以保證猜出所有 n 個數？

 

答案：兩次。先選擇 a1 = a2 = ... = an = 1 ，從而獲知 n 個數之和 S 。注意到，由於 Alice 寫下的數都是正整數，因此對所有 i 都有 xi ≤ S 。然後，選擇 b1 = 1, b2 = S+1, b3 = (S+1)^2, ..., bn = (S+1)^(n-1)，然後 Alice 將告訴他一個數

    N = x1 + x2·(S+1) + x3·(S+1)^2 + ... + xn·(S+1)^(n-1)

接下來， Bob 只需要把 N 寫成 S+1 進位，每個數位上的數就依次是 Alice 的那 n 個數了。

下面我們證明，兩次詢問已經是最優的了，只問一次是猜不出來的。假設 Bob 第一次詢問得到的結果是 a1 + a2 + ... + an + a1·a2 ，則他沒法知道 Alice 的 n 個數是 a2+1, 1, 1, ..., 1 ，還是 1, a1+1, 1, 1, ..., 1 。

 
 

36. 桌上有兩個盒子，一個盒子裡有 51 枚硬幣，一個盒子裡有 101 枚硬幣。 Alice 和 Bob 輪流把其中一個盒子的硬幣倒掉，再把另一個盒子裡的硬幣分裝在兩個盒子中。最後誰不能繼續操作了，誰就輸了。如果 Alice 先走，誰有必勝策略？

 

答案： Bob 必勝。 Alice 走後，兩個盒子裡的硬幣數必然是一奇一偶。 Bob 倒掉有奇數枚硬幣的盒子，把剩下的硬幣分成 1 加另一個奇數。這樣 Bob 面前總有一個盒子裡有偶數枚硬幣，因此他始終有走的。

 
 

37. 如果一個平面向量滿足 y ≥ 0 ，我們就說這個向量是朝上的。兩個朝上的單位向量，其向量和可能很小很小。證明：奇數個朝上的單位向量，向量和的長度不可能小於 1 。

 

答案：假設 n 個向量分別為 V1, V2, ..., Vn 。注意到， V1 + V2 + ... + Vn = V1 + (V2 + ... + Vn) ，而兩個向量的夾角變大將使得和向量變小，因此把 V1 變成 (1, 0) 或 (-1, 0) 中的某一個，那麼這 n 個向量的和將會變得更小。反覆利用該引理可知，這 n 個向量都是水平向量時，向量和最小。而奇數個單位水平向量的最小值為 1 。

 
 

38. 假設 n 次多項式 p(x) 滿足，對於所有 x ，都有 p(x) ≥ 0 。證明，對於所有 x ，都有 p(x) + p'(x) + p''(x) + ... + p^(n)(x) ≥ 0

 

答案：由於對於所有 x 都有 p(x) ≥ 0 ，因此 p(x) 的次數 n 一定是偶數，且最高次項係數大於 0 。令 q(x) = p(x) + p'(x) + p''(x) + ... + p^(n)(x) ，顯然 q(x) 的次數和最高次項係數跟 p(x) 一樣，因此 q(x) 存在一個最小值，比方說 q(x0) 。我們只需要說明 q(x0) ≥ 0 即可。
由於 q(x0) 是最小值，因此 q'(x0) = 0 。而 q'(x) = p'(x) + p''(x) + ... + p^(n)(x) = q(x) - p(x) ，因此 q(x0) - p(x0) = 0 ，即 q(x0) = p(x0) ≥ 0 。

 
 

39. 是否有可能在平面上畫不可數個不相交的 8 ？

  

 

答案：不可能。對於任意一個 8 字形，在兩個洞裡各取一個有理點 P 、 Q （由於平面上的有理點是稠密的，這是總能辦到的），則稱這個 8 字形圈住了有理點對 (P, Q) 。注意到由於 8 字形不能相交，因此兩個 8 字形不可能圈住同一對有理點。由於平面上的有理點對是可數的，因此 8 字形的數量也是可數的。