Which Way Did the Bicycle Go 趣題選（中）

14. 有意思的是，在數學曆史上，一些很簡單的結論竟然幾百年來都未曾發現。直到 1977 年， Paul Erdős 和 George Szekeres 才發現，除了兩頭的 1 以外，楊輝三角同一行內的任意兩個數都有公因數。證明這個結論。

答案：只需要注意到， a 乘以一個比 b 小的數之後還能成為 b 的倍數，這說明 a 和 b 一定有公因數。不妨設 0
 
   C(n, j) · C(j, i)
= n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!)
= n! / (i! (n - j)! (j - i)!)
= n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!)
= C(n, i) · C(n-i, j-i)

 
15. 2 的 5 倍是 10 ， 3 的 37 倍是 111 ， 4 的 25 倍是 100 。是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它全由數字 0 和 1 構成？

答案：是的。考慮數列 1, 11, 111, 1111, ... 。它們除以 n 的餘數只有 n 種可能，因此前 n+1 項中一定有兩項，它們除以 n 的餘數相同。這兩項的差即滿足條件。

 
16. 或許大家常會注意到這麼一個有趣的事實： 111 能被 3 整除。是否存在無窮多個正整數 n 滿足， n 個 1 所組成的 n 位元能被 n 整除？

答案：是的。我們只需要證明，若 n 個 1 所組成的 n 位元能被 n 整除，則 3n 個 1 所組成的 3n 位元能被 3n 整除。這是因為 11..11 11..11 11..11 可以寫成 11..11 * 1 00..01 00..01 ，其中前者含有因子 n ，後者顯然含有因子 3 。

 
17. 是否對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它含有從 0 到 9 所有的數字？

答案：是的。假設 n 是一個 d 位元，那麼 1234567890·10^d + 1 和 1234567890·10^d + n 之間一定有一個數是 n 的倍數，它顯然滿足要求。

 
18. 對任意一個正整數集合 A ，令 S 為 A 中的數兩兩相加可能得到的所有和所組成的集合，令 D 為 A 中的數兩兩相減可能得到的所有差所組成的集合。例如，若 A = {1, 2, 4} ，則 S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} ， D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 。證明或推翻： D 中的元素個數不可能少於 S 中的元素個數。

答案：這是錯的。目前已知的最小反例為 {1, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15} ，這 8 個數能產生 26 種和，但只能產生 25 種差。

 
19. 多項式 p(x) = (1/2)x^2 - (1/2)x + 2 滿足 p(1)=2 、 p(2)=3 、 p(3)=5 。是否能找到一個整係數多項式 q(x) ，使得 q(1)=2 、 q(2)=3 、 q(3)=5 ？

答案：不能。事實上，連只滿足 q(1)=2 、 q(3)=5 的整係數多項式都不存在。假設 q(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 + ... + an·x^n ，則
 
   3 = 5 - 2 = q(3) - q(1) = (3-1)a1 + (3^2-1)a2 + ... + (3^n-1)an。
 
由於 3^k - 1 總是偶數，因此等式右邊一定是偶數，它不可能等於 3 ，矛盾。

 
20. 假設 P(x) 是一個 8 次多項式，且 P(1)=1, P(2)=1/2, P(3)=1/3, ..., P(9)=1/9 。求 P(10) 。

答案：由條件可知 1, 2, ... ,9 是多項式 x·P(x) - 1 的 9 個根。因此， x·P(x) - 1 = c(x-1)(x-2)(x-3)...(x-9) 。對比常數項可知 -1 = -c·9! ，因此 c=1/9! 。因此， 10·P(10) - 1 = 9!/9! = 1 ，所以說 P(10)=1/5 。

 
21. 把楊輝三角寫成方陣：

  1  1  1  1  1 ...
  1  2  3  4  5 ...
  1  3  6 10 15 ...
  1  4 10 20 35 ...
  1  5 15 35 70 ...
  ...
  ...

證明：對任意正整數 n ，方陣的前 n 行 n 列組成的矩陣，其行列式總為 1 。

答案：對 n 施歸納。當 n=1 時，顯然成立。考慮方陣的前 n 行 n 列，若每一行都減去它的上面一行，就變成了：
 
  1  1  1  1  1  ...
  0  1  2  3  4  ...
  0  1  3  6 10  ...
  0  1  4 10 20  ...
  0  1  5 15 35  ...
  ...
  ...
 
再把每一列都減去它的前一列：
 
  1  0  0  0  0  ...
  0  1  1  1  1  ...
  0  1  2  3  4  ...
  0  1  3  6 10  ...
  0  1  4 10 20  ...
  ...
  ...
 
顯然其行列式與 n-1 階時相同

 
22. 一個機器洗牌時總是以相同的方式打亂牌的順序。把

   A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

放進去，用機器連續洗兩次牌之後，順序變為了

   10, 9, Q, 8, K, 3, 4, A, 5, J, 6, 2, 7

求機器第一次洗牌之後的順序。

答案：可以把這個洗牌機看作一個置換 σ ，則 σ^2 為
 
   1→8→4→7→13→5→9→2→12→3→6→11→10→1
 
由於 σ^2 不能分解成若干個不相交迴圈，因此 σ 也不可能有多個迴圈。但這就表明連續洗牌 13 次所有牌又會回到原位，因此洗一次牌相當於 (σ^2)^7 ，即
 
   1→2→8→12→4→3→7→6→13→11→5→10→9→1
 
因此所求的順序為
 
   9, A, 4, Q, J, 7, 3, 2, 10, 5, K, 8, 6