【莫比烏斯反演】BZOJ2005 [NOI2010]能量採集

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Description

　　求sigma gcd(x,y)*2-1，1<=x<=n, 1<=y<=m。n, m<=1e5。

 

Solution

　　f(n)為gcd正好是n的(x,y)的個數

　　F(n)為gcd是n的倍數的(x,y)的個數

　　我們要求的就是f(i)

　　然而這個不好直接算，可F(i)可以直接用(n/i)*(m/i)得到

　　那麼有F(n)=sigma n|i f(i)

　　於是有f(n)=sigma n|i mu(i)*F(i)

　　這就是莫比烏斯反演，不過這道題直接用容斥的思想想也很容易得到上面那個式子

　　那麼考慮每一個gcd的貢獻

　　把n和m除以gcd後，就相當於要求n次f(1)

　　每次均攤logn

 

Code

　　也有不用反演的做法，大概是從後往前算，每一步都嚴格定義，用容斥做。

　　這道題是我做的BZOJ第三題，不過當時只會80/90暴力然後去看的題解的容斥，那時候覺得把每一個gcd分開考慮貢獻真是神奇，不過對於現在是再自然不過的想法了。

 1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #define ll long long 5 using namespace std; 6 const int maxn=1e5+5; 7  8 int flag[maxn],prime[maxn],cnt; 9 int mu[maxn];10 int N,M;11 12 int getmu(){13     mu[1]=1;14     for(int i=2;i<=N;i++){15         if(!flag[i]){16             mu[i]=-1;17             prime[++cnt]=i;18         }19         for(int j=1;i*prime[j]<=N&&j<=cnt;j++){20             flag[i*prime[j]]=1;21             if(i%prime[j]==0){22                 mu[i*prime[j]]=0;23                 break;24             }25             mu[i*prime[j]]=-mu[i];26         }27     }28 }29 30 ll work(int x){31     ll ret=0;32     int n=N/x,m=M/x;33     for(int i=1;i<=n;i++)34         ret+=1ll*mu[i]*(n/i)*(m/i);35     return ret;36 }37 38 int main(){39     scanf("%d%d",&N,&M);40     if(N>M) swap(N,M);41     getmu();42     43     ll ans=0;44     for(int i=1;i<=N;i++)45         ans+=work(i)*(2*i-1);46     printf("%lld\n",ans);47     return 0;48 }

 

【莫比烏斯反演】BZOJ2005 [NOI2010]能量採集