c#漢諾塔的遞迴演算法與解析

從左至右 A B C 柱 大盤子在下, 小盤子在上, 藉助B柱將所有盤子從A柱移動到C柱, 期間只有一個原則: 大盤子只能在小盤子的下面.

如果有3個盤子, 大中小號, 越小的越在上面, 從上面給盤子按順序編號 1(小),2(中),3(大), 後面的原理解析引用這裡的編號.

小時候玩過這個遊戲, 基本上玩到第7個,第8個就很沒有耐心玩了,並且操作的動作都幾乎相同覺得無聊. 後來學習編程, 認識到遞迴, 用遞迴解決漢諾塔的演算法也是我除了簡單的排序演算法後學習到的第一種演算法.

至於遞迴,簡單來說就是方法內部自己調用自己, 同時也一定有一個結束點. 如果對方法調用棧瞭解的話,其實是很容易理解方法的調用過程的, 就是從主線程開始調用方法進行不停的壓棧和出棧操作. 方法的調入就是將方法壓入棧中, 方法的結束就是方法出棧的過程, 這樣保證了方法調用的順序流. 如果跟蹤遞迴的調用情況會發現也是如此, 到最後一定是這個方法最後從棧中彈出回到主線程, 並且結束.

棧的特點:先進後出。 比如一個方法 A 自己調用自己, 我用編號區分一下進棧過程:

A -> A(1) -> A(2) -> A(3)

在A(3)時滿足某種條件得以退出, 回到 A(2), A(2)結束回到A(1), 再回到A, 出棧過程:

A(3) -> A(2) -> A(1) -> A

對於遞迴,還有一個形象的認識,就是我小時候家裡有一個柜子, 柜子兩端都是玻璃, 頭伸進柜子看一面鏡子,會看到鏡子裡還有鏡子, 然後鏡子裡還有鏡子, 但和遞迴的特點不同的是這鏡子的反射是沒有盡頭的, 只要眼睛一直能看到底的話.

瞭解完遞迴後, 再回頭來看如何用遞迴的方式解決漢諾塔的問題.

案例 1 - 假設只有一個盤子的時候, 盤子數量 N=1

只有一個步驟 將第1個盤子從A移動到C, 為了對比方便我這樣來描述這個步驟：

步驟 盤子編號 從柱子移動 移動到柱子

1 1 A C

案例 2 - 如果有兩個盤子, 盤子數量 N = 2

步驟 盤子編號 從柱子移動 移動到柱子

1 1 A B

2 2 A C

3 1 B C

案例 3 - 如果有三個盤子, 盤子數量 N = 3

步驟 盤子編號 從柱子移動 移動到柱子

1 1　　　 A C

2 2　　　 A　　　　 B

3 1 C B

4 3 A C

5 1 B A

6 2 B C

7 1 A C

如何找出盤子移動的規律 ？

我們要做的最重要的一件事情就是永遠要把最底下的一個盤子從 A 移動到 C

看看上面從1個盤子的移動到3個盤子的移動, 在移動記錄中,當盤子的編號和盤子數量相同的時候他們的步驟都是從A移動到C (看加粗的部分),其它的步驟對等.

再觀察第3個案例中的第 1-3 步 和 第 5-7步

第 1-3 步 目的是從 A 移動到 B 如果我們把 B 當作終點, 那麼這裡的第 1-3 步理解起來和 第2個案例的三個步驟完全相同, 都是通過一個柱子來移動,和第2個案例比起來在後面加括弧來表示

1 1　　　 A C ( A -> B)

2 2　　　 A　 B ( A -> C)

3 1 C B ( B -> C)

總結：將盤子B變成C即可.

第 5-7 步 目的是從 B 移動到 C 如果我們把 C 當作終點, 那麼這裡的 5-7 步理解起來和上面也是一樣的, 和第2個案例的三個步驟也完全相同.和第2個案例比起來就是:

5 1 B A ( A -> B)

6 2 B C ( A- > C)

7 1 A C ( B -> C)

總結: 將盤子B變成A即可

根據這個示範可以明確幾點規律:

1. 當盤子只有一個的時候,只有一個動作 從 A 移動到 C 即結束.

2. 當有N個盤子的時候, 中間的動作都是從 A 移動到 C, 那麼表示最下面的第N個盤子移動完畢

3. 中間動作之上都可以認為是: 從 A 移動到 B

4. 中間動作之下都可以認為是: 從 B 移動到 C

2，3，4 可以表示為

1 1 A B

2 2 A C

3 1 B C

這種結構一直在重複進行,C#不太熟悉,試著寫寫,就有了以下代碼:

複製代碼 代碼如下:using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace DataStructure
{
class HanoiTower
{

public void MoveDisk(int DiskQuantity,string PositionA, string PositionB, string PositionC)
{
// If there's only one disk, then end.
if (DiskQuantity == 1)
{
Console.WriteLine("Move disk from position {0} to {1}.", PositionA, PositionC);
// Must return
return;
}
else
{
// Step 1 - Change B to C (A --> B)
MoveDisk(DiskQuantity - 1, PositionA,PositionC,PositionB);
// Step 2 - No changes (A --> C)
MoveDisk(1, PositionA, PositionB, PositionC);
// Step 3 - Change B to A (A --> C)
MoveDisk(DiskQuantity - 1, PositionB, PositionA, PositionC);
}
}

static void Main(string[] args)
{
HanoiTower hanoi = new HanoiTower();

Console.WriteLine("Please input Disk Quantity:");
int DiskQuantity = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

hanoi.MoveDisk(DiskQuantity, "A", "B", "C");

Console.ReadKey();
}
}
}

結合上面的分析,最重要的就是這裡的3步交換動作, 中間從 A到C的動作是最底層盤子的最終操作.

// Step 1 - Change B to C (A --> B)
MoveDisk(DiskQuantity - 1, PositionA,PositionC,PositionB);
// Step 2 - No changes (A --> C)
MoveDisk(1, PositionA, PositionB, PositionC);
// Step 3 - Change B to A (A --> C)
MoveDisk(DiskQuantity - 1, PositionB, PositionA, PositionC);
至於第1個參數為什麼是DiskQuantity - 1,或者1 大家再回到上面看看是不是所有的步驟都是.. 1. 1,2,1. 1,2,1,3,1,2,1 這種以盤子數對稱的結構,而它前後都是重複1,2,1 的過程.