C語言浮點數運算

 　　C語言標準C89裡規定了3種浮點數，float型、double型和long double型，常見的浮點型長度為float型佔4個位元組，double型佔8個位元組，long double型長度要大於等於double型，下面將以float型為例進行介紹，double型和long double型只是比float型位元長，原理是一樣的 。

　　float型可以表示的十進位範圍是-3.402823466e38~3.402823466e38，而作為同為4個位元組的定點數卻只能表示-2147483648~2147483647的範圍，使用同樣的記憶體空間，浮點數卻能比定點數表示大得多的範圍，這是不是太神奇了？既然浮點數能表示這麼大的範圍，那麼我們為何不使用浮點數來代替定點數呢？先不說浮點數實現起來比較複雜，有些處理器還專門配置了硬體浮點運算單元用於浮點運算，主要原因是浮點數根本就無法取代定點數，因為精度問題。魚和熊掌不可兼得，浮點數表示了非常大的範圍，但它失去了精度。

ANSI/IEEE Std 754-1985標準
　　IEEE 754是最廣泛使用的二進位浮點數算術標準，被許多CPU與浮點運算器所採用。IEEE 754規定了多種表示浮點數值的方式，下面介紹32位二進位的float浮點類型。它被分為3個部分，分別是符號位S（sign bit）、指數偏差E（exponent bias）和小數部分F（fraction），這三部分都是對應二進位碼的。

 

　　浮點表示的一般形式為（科學技術法規則）：R=(S) * (1 + F) * 2e (R：實數       S：正負符號      F：小數部分     e：指數，不同於指數偏差)。

• 符號位S：佔1位，0代表浮點數是正數，1代表浮點數是負數。
• 指數偏差E：佔8位，範圍是0~255，e = E - 127，e為正值表明轉換成二進位碼後，按科學計數法表達時向左移動了e位， 負值表明向右移動了e位。
• 小數部分F：佔23位，實際上是將浮點數轉換成二進位碼，再按科學計數法表達，將其小數部分存在F上，由於二進位碼按科學計數法表達後，只要值不為0，整數部分就必然為1，所以可以省略整數部分。

　　例如，3.75的二進位碼為11.11，將該二進位碼按科學計數法表達為1.111，則向左移動了1位，即e=1，E=e+127=128，F記錄的便是小數部分，實際為111000...000。

　　下面介紹一下小數部分轉換為二進位碼的方式。類似於整數的形式（如7 = 22 + 21 + 20），小數部分的轉換形式為2-1、2-2、2-3、2-4......，例如0.5 = 2-1，即二進位碼為0.1，0.05 = 2-5 + 2-6 + 2-9 + 2-10 + 2-13 + 2-14 +...... （可無限迴圈），即二進位碼為0.00001100110011......。如果都以16位計，那麼7的二進位碼為0000000000000111，0.5的二進位碼為0.1000000000000000，0.05的二進位碼為0.0000110011001100。這是如何換算出來的呢？且看下面的演算法便知：

　　換算0.5，乘法結果初始為0.5，所有乘數為2，每次用乘法結果 * 乘數，得到新的乘法結果，結果中的整數部分被提取出來，剩餘的小數部分繼續參加下一次乘法運算，直到剩餘小數部分為0，或者無終點（無限迴圈）。根據表格中的整數部分可知，二進位為0.1。

整數部分	乘數	乘法結果	剩餘小數部分
0.	2	0.5	0.5
1		1	0
		結束

　　換算0.05，乘法結果初始為0.05，所有乘數為2，每次用乘法結果 * 乘數，得到新的乘法結果，結果中的整數部分被提取出來，剩餘的小數部分繼續參加下一次乘法運算，直到剩餘小數部分為0，或者無終點（無限迴圈）。根據表格中的整數部分可知，二進位為0.00001100110011......。

整數部分	乘數	乘法結果	剩餘小數部分
0.	2	0.05	0.05
0	2	0.1	0.1
0	2	0.2	0.2
0	2	0.4	0.4
0	2	0.8	0.8
1	2	1.6	0.6
1	2	1.2	0.2
0	2	0.4	0.4
0	2	0.8	0.8
1	2	1.6	0.6
1		1.2	0.2
		無限迴圈

例1：float型浮點數125.5轉化成32位二進位浮點數。

　　125.5的整數和小數部分的二進位碼分別為1111101和0.1，於是125.5的二進位碼為1111101.1，按科學技術法寫為1.1111011*26，即向左移6位，則e=6，E=e+127=133，133的二進位碼為10000101。而1.1111011把整數部分的1去掉後，剩下小數部分為1111011，之後補0至23位，構成F。所以125.5的32位二進位浮點數為：
0  10000101  11110110000000000000000

例2：float型浮點數0.5轉化成32位二進位浮點數。

　　類似的，0.5的二進位碼為0.1，按科學技術法寫為1.0*2-1，即向右移1位，則e=-1，則E=e+127=126，126的二進位碼為01111110。而1.0把整數部分的1去掉後，剩下小數部分為0，之後補0至23位，構成F。所以0.5的32位二進位浮點數為：
0  01111110  00000000000000000000000

幾個特殊的情形

• E=0，F=0時，表示浮點數0，此時浮點數受S影響，表現出+0和-0兩種0，但數值是相等的。比如位元0x00000000表示+0，位元0x80000000表示-0。
• E=0，F不等於0時，浮點數為(S) * (F) * 2e，注意e為-126，而不是0-127=-127，而且F是0.xxx格式而不是1.xxx格式，比如0x00000001的浮點數為2-126*2-23=1.4012984643248170709237295832899e-45，而不是20-127*(1+2-23)。E從0變為1，不會產生增加2倍的關係，而是計算公式改變了（恢複正常公式）。
• E=255，F不等於0時，表示非數值，也就是說是非法數，例如0x7F800001。
• E=255，F=0時，表示無窮大的數，此時浮點數受S影響，例如0x7F800000表示正無窮大，0xFF800000表示負無窮大。做除法時，如果除以0時，結果將被記作0x7F800000。

浮點數的精度

　　從前文中可以看到，1.xxx這類浮點數中，F部分最小的是2-23，對應的十進位數為1.00000011920928955078125，可以精確表示到小數點後23位，但是一些C語言書上卻說float型的有效位只有6~7位，這是為什麼呢？原因在於二進位小數與十進位小數沒有完全一一對應的關係，二進位小數相比十進位小數來說，是離散而不是連續的，我們來看看下面這些數字：

二進位小數　　　　十進位小數
2-23　　　　　　　1.00000011920928955078125
2-22　　　　　　　1.0000002384185791015625
2-21　　　　　　　1.000000476837158203125
2-20　　　　　　　1.00000095367431640625
2-19　　　　　　　1.0000019073486328125
2-18　　　　　　　1.000003814697265625

　　這裡只需要關注F，上面列出了1.xxx這類浮點數中的6個最小的二進位小數，及其對應的十進位數。可以看到使用二進位所能表示的最小小數是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，這兩個數之間是有間隔的，如果想用二進位小數來表示8位有效數（只算小數部分，小數點前面的1是隱藏的預設值）1.00000002、1.00000003、1.00000004......這些數是無法辦到的，而7位有效數1.0000001可以用2-23來表示，1.0000002可以用2-22來表示，1.0000003可以用2-23+2-22來表示。從這個角度來看，float型所能精確表示的位元只有7位，7位之後的數雖然也是精確表示的，但卻無法表示任意一個想表示的數值。

　　但還是有一些例外的，比如說7位有效數1.0000006這個數就無法用F表示，這也表明二進位小數對於十進位小數來說相當於是離散的，剛好湊不出1.0000006這個數，從這點來看float型所能精確表示的位元只有6位。因此float型的有效位元是6~7位，但這個說法應該不是非常準確，準確來說應該是6位，C語言的標頭檔中規定也是6位。對於一個很大的數，例如1234567890，它是由於指數E係數而被放大了的，但它的有效位仍然是F所能表示的6~7位有效數字。1234567890用float表示後為1234567936，只有高7位是有效位，後3位是無效的。int型可以準確的表示1234567890，而float浮點數則只能近似的表示1234567890，精度問題決定了float型無法取代int型。