C語言科學計算入門之矩陣乘法的相關計算_C 語言

1.矩陣相乘
矩陣相乘應滿足的條件：
(1) 矩陣A的列數必須等於矩陣B的行數，矩陣A與矩陣B才能相乘；
(2) 矩陣C的行數等於矩陣A的行數，矩陣C的列數等於矩陣B的列數；
(3) 矩陣C中第i行第j列的元素等於矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應乘積之和，即

如：

則：

2. 常用矩陣相乘演算法
    用A的第i行分別和B的第j列的各個元素相乘求和，求得C的第i行j列的元素，這種演算法中，B的訪問是按列進行訪問的，代碼如下：

void arymul(int a[4][5], int b[5][3], int c[4][3]){ int i, j, k; int temp; for(i = 0; i < 4; i++){ for(j = 0; j < 3; j++){  temp = 0;  for(k = 0; k < 5; k++){  temp += a[i][k] * b[k][j];  }  c[i][j] = temp;  printf("%d/t", c[i][j]); } printf("%d/n"); }}

3. 改進的演算法
    矩陣A、B、C都按行（資料的儲存順序）訪問，以提高儲存空間訪問效率，對於A的第i行中，第j列的元素分別和B的第j行的元素相乘，對於B中相同的列k在上述計算過程中求和，從而得到C第i行k列的資料，代碼如下：

void arymul1(int a[4][5], int b[5][3], int c[4][3]){ int i, j, k; int temp[3] = {0}; for(i = 0; i < 4; i++){ for(k = 0; k < 3; k ++)  temp[k] = 0; for(j = 0; j < 5; j++){//當前行的每個元素  for(k = 0; k < 3; k++){  temp[k] += a[i][j] * b[j][k];  } } for(k = 0; k < 3; k++){  c[i][k] = temp[k];  printf("%d/t", c[i][k]); } printf("%d/n"); }}

這種演算法很容易轉到疏鬆陣列的相乘演算法。

PS：斯特拉森演算法的實現
斯特拉森方法，是由v.斯特拉森在1969年提出的一個方法。

我們先討論二階矩陣的計算方法。
對於二階矩陣

a11 a12 b11 b12 A = a21 a22 B = b21 b22 

先計算下面7個量(1)

x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22); x2 = (a21 + a22) * b11; x3 = a11 * (b12 - b22); x4 = a22 * (b21 - b11); x5 = (a11 + a12) * b22; x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12); x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22); 

再設C = AB。根據矩陣相乘的規則，C的各元素為(2)

c11 = a11 * b11 + a12 * b21 c12 = a11 * b12 + a12 * b22 c21 = a21 * b11 + a22 * b21 c22 = a21 * b12 + a22 * b22 

比較(1)(2)，C的各元素可以表示為(3)

c11 = x1 + x4 - x5 + x7 c12 = x3 + x5 c21 = x2 + x4 c22 = x1 + x3 - x2 + x6 

根據以上的方法，我們就可以計算4階矩陣了，先將4階矩陣A和B劃分成四塊2階矩陣，分別利用公式計算它們的乘積，再使用(1)(3)來計算出最後結果。

ma11 ma12 mb11 mb12 A4 = ma21 ma22 B4 = mb21 mb22 

其中

a11 a12 a13 a14 b11 b12 b13 b14 ma11 = a21 a22 ma12 = a23 a24 mb11 = b21 b22 mb12 = b23 b24 a31 a32 a33 a34 b31 b32 b33 b34 ma21 = a41 a42 ma22 = a43 a44 mb21 = b41 b42 mb22 = b43 b44 

實現

// 計算2X2矩陣 void Multiply2X2(float& fOut_11, float& fOut_12, float& fOut_21, float& fOut_22, float f1_11, float f1_12, float f1_21, float f1_22, float f2_11, float f2_12, float f2_21, float f2_22) { const float x1((f1_11 + f1_22) * (f2_11 + f2_22)); const float x2((f1_21 + f1_22) * f2_11); const float x3(f1_11 * (f2_12 - f2_22)); const float x4(f1_22 * (f2_21 - f2_11)); const float x5((f1_11 + f1_12) * f2_22); const float x6((f1_21 - f1_11) * (f2_11 + f2_12)); const float x7((f1_12 - f1_22) * (f2_21 + f2_22)); fOut_11 = x1 + x4 - x5 + x7; fOut_12 = x3 + x5; fOut_21 = x2 + x4; fOut_22 = x1 - x2 + x3 + x6; } // 計算4X4矩陣 void Multiply(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& m1, const CLAYMATRIX& m2) { float fTmp[7][4]; // (ma11 + ma22) * (mb11 + mb22) Multiply2X2(fTmp[0][0], fTmp[0][1], fTmp[0][2], fTmp[0][3], m1._11 + m1._33, m1._12 + m1._34, m1._21 + m1._43, m1._22 + m1._44, m2._11 + m2._33, m2._12 + m2._34, m2._21 + m2._43, m2._22 + m2._44); // (ma21 + ma22) * mb11 Multiply2X2(fTmp[1][0], fTmp[1][1], fTmp[1][2], fTmp[1][3], m1._31 + m1._33, m1._32 + m1._34, m1._41 + m1._43, m1._42 + m1._44, m2._11, m2._12, m2._21, m2._22); // ma11 * (mb12 - mb22) Multiply2X2(fTmp[2][0], fTmp[2][1], fTmp[2][2], fTmp[2][3], m1._11, m1._12, m1._21, m1._22, m2._13 - m2._33, m2._14 - m2._34, m2._23 - m2._43, m2._24 - m2._44); // ma22 * (mb21 - mb11) Multiply2X2(fTmp[3][0], fTmp[3][1], fTmp[3][2], fTmp[3][3], m1._33, m1._34, m1._43, m1._44, m2._31 - m2._11, m2._32 - m2._12, m2._41 - m2._21, m2._42 - m2._22); // (ma11 + ma12) * mb22 Multiply2X2(fTmp[4][0], fTmp[4][1], fTmp[4][2], fTmp[4][3], m1._11 + m1._13, m1._12 + m1._14, m1._21 + m1._23, m1._22 + m1._24, m2._33, m2._34, m2._43, m2._44); // (ma21 - ma11) * (mb11 + mb12) Multiply2X2(fTmp[5][0], fTmp[5][1], fTmp[5][2], fTmp[5][3], m1._31 - m1._11, m1._32 - m1._12, m1._41 - m1._21, m1._42 - m1._22, m2._11 + m2._13, m2._12 + m2._14, m2._21 + m2._23, m2._22 + m2._24); // (ma12 - ma22) * (mb21 + mb22) Multiply2X2(fTmp[6][0], fTmp[6][1], fTmp[6][2], fTmp[6][3], m1._13 - m1._33, m1._14 - m1._34, m1._23 - m1._43, m1._24 - m1._44, m2._31 + m2._33, m2._32 + m2._34, m2._41 + m2._43, m2._42 + m2._44); // 第一塊 mOut._11 = fTmp[0][0] + fTmp[3][0] - fTmp[4][0] + fTmp[6][0]; mOut._12 = fTmp[0][1] + fTmp[3][1] - fTmp[4][1] + fTmp[6][1]; mOut._21 = fTmp[0][2] + fTmp[3][2] - fTmp[4][2] + fTmp[6][2]; mOut._22 = fTmp[0][3] + fTmp[3][3] - fTmp[4][3] + fTmp[6][3]; // 第二塊 mOut._13 = fTmp[2][0] + fTmp[4][0]; mOut._14 = fTmp[2][1] + fTmp[4][1]; mOut._23 = fTmp[2][2] + fTmp[4][2]; mOut._24 = fTmp[2][3] + fTmp[4][3]; // 第三塊 mOut._31 = fTmp[1][0] + fTmp[3][0]; mOut._32 = fTmp[1][1] + fTmp[3][1]; mOut._41 = fTmp[1][2] + fTmp[3][2]; mOut._42 = fTmp[1][3] + fTmp[3][3]; // 第四塊 mOut._33 = fTmp[0][0] - fTmp[1][0] + fTmp[2][0] + fTmp[5][0]; mOut._34 = fTmp[0][1] - fTmp[1][1] + fTmp[2][1] + fTmp[5][1]; mOut._43 = fTmp[0][2] - fTmp[1][2] + fTmp[2][2] + fTmp[5][2]; mOut._44 = fTmp[0][3] - fTmp[1][3] + fTmp[2][3] + fTmp[5][3]; } 

比較
在標準的定義演算法中我們需要進行n * n * n次乘法運算，新演算法中我們需要進行7log2n次乘法，對於最常用的4階矩陣： 　 原演算法 新演算法
加法次數 48 72(48次加法，24次減法)
乘法次數 64 49
需要額外空間 16 * sizeof(float) 28 * sizeof(float)
新演算法要比原演算法多了24次減法運算，少了15次乘法。但因為浮點乘法的運算速度要遠遠慢於加/減法運算，所以新演算法的整體速度有所提高。