C程式設計的常用演算法

演算法（Algorithm）：電腦解題的基本思想方法和步驟。演算法的描述：是對要解決一個問題或要完成一項任務所採取的方法和步驟的描述，包括需
要什麼資料（輸入什麼資料、輸出什麼結果）、採用什麼結構、使用什麼語句以及如何安排這些語句等。通常使用自然語言、結構化串流程圖、虛擬碼等來描述演算法。

　　一、計數、求和、求階乘等簡單演算法

　　此類問題都要使用迴圈，要注意根據問題確定迴圈變數的初值、終值或結束條件，更要注意用來表示計數、和、階乘的變數的初值。

　　例：用隨機函數產生100個[0，99]範圍內的隨機整數，統計個位上的數字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的數的個數並列印出來。

本題使用數組來處理，用數組a[100]存放產生的確100個隨機整數，數組x[10]來存放個位上的數字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，
0的數的個數。即個位是1的個數存放在x[1]中，個位是2的個數存放在x[2]中，……個位是0的個數存放在x[10]。

void main()
{ int a[101],x[11],i,p;
for(i=0;i<=11;i++)
x[i]=0;
for(i=1;i<=100;i++)
{ a[i]=rand() % 100;
printf("%4d",a[i]);
if(i%10==0)printf(""n");
}
for(i=1;i<=100;i++)
{ p=a[i]%10;
if(p==0) p=10;
x[p]=x[p]+1;
}
for(i=1;i<=10;i++)
{ p=i;
if(i==10) p=0;
printf("%d,%d"n",p,x[i]);
}
printf(""n");
}

　　二、求兩個整數的最大公約數、最小公倍數

　　分析：求最大公約數的演算法思想：(最小公倍數=兩個整數之積/最大公約數)
(1) 對於已知兩數m，n，使得m>n；
(2) m除以n得餘數r；
(3) 若r=0，則n為求得的最大公約數，演算法結束；否則執行(4)；
(4) m←n，n←r，再重複執行(2)。
例如: 求 m=14 ,n=6 的最大公約數. m n r
14 6 2
6 2 0
void main()
{ int nm,r,n,m,t;
printf("please input two numbers:"n");
scanf("%d,%d",&m,&n);
nm=n*m;
if (m<n)
{ t=n; n=m; m=t; }
r=m%n;
while (r!=0)
{ m=n; n=r; r=m%n; }
printf("最大公約數:%d"n",n);
printf("最小公倍數:%d"n",nm/n);
}

　　三、判斷素數

　　只能被1或本身整除的數稱為素數 基本思想：把m作為被除數，將2—INT（ ）作為除數，如果都除不盡，m就是素數，否則就不是。（可用以下程式段實現）
void main()
{ int m,i,k;
printf("please input a number:"n");
scanf("%d",&m);
k=sqrt(m);
for(i=2;i<k;i++)
if(m%i==0) break;
if(i>=k)
printf("該數是素數");
else
printf("該數不是素數");
}
將其寫成一函數,若為素數返回1，不是則返回0
int prime( m%)
{int i,k;
k=sqrt(m);
for(i=2;i<k;i++)
if(m%i==0) return 0;
return 1;
}

　　四、驗證哥德巴哈猜想

　　（任意一個大於等於6的偶數都可以分解為兩個素數之和）
基
本思想：n為大於等於6的任一偶數，可分解為n1和n2兩個數，分別檢查n1和n2是否為素數，如都是，則為一組解。如n1不是素數，就不必再檢查n2是
否素數。先從n1=3開始，檢驗n1和n2（n2=N-n1）是否素數。然後使n1+2 再檢驗n1、n2是否素數，… 直到n1=n/2為止。

　　利用上面的prime函數，驗證哥德巴哈猜想的程式碼如下：
#include "math.h"
int prime(int m)
{ int i,k;
k=sqrt(m);
for(i=2;i<k;i++)
if(m%i==0) break;
if(i>=k)
return 1;
else
return 0;
}

main()
{ int x,i;
printf("please input a even number(>=6):"n");
scanf("%d",&x);
if (x<6||x%2!=0)
printf("data error!"n");
else
for(i=2;i<=x/2;i++)
if (prime(i)&&prime(x-i))
{
printf("%d+%d"n",i,x-i);
printf("驗證成功!");
break;
}
}

　　五、排序問題

　　1．選擇法排序（升序）

　　基本思想：
1）對有n個數的序列（存放在數組a(n)中），從中選出最小的數，與第1個數交換位置；
2）除第1 個數外，其餘n-1個數中選最小的數，與第2個數交換位置；
3）依次類推，選擇了n-1次後，這個數列已按升序排列。

程式碼如下：
void main()
{ int i,j,imin,s,a[10];
printf(""n input 10 numbers:"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(i=0;i<9;i++)
{ imin=i;
for(j=i+1;j<10;j++)
if(a[imin]>a[j]) imin=j;
if(i!=imin)
{s=a[i]; a[i]=a[imin]; a[imin]=s; }
printf("%d"n",a[i]);
}
}

　　2．冒泡法排序（升序）

　　基本思想：(將相鄰兩個數比較，小的調到前頭)
1）有n個數（存放在數組a(n)中），第一趟將每相鄰兩個數比較，小的調到前頭，經n-1次兩兩相鄰比較後，最大的數已“沉底”，放在最後一個位置，小數上升“浮起”；
2）第二趟對餘下的n-1個數（最大的數已“沉底”）按上法比較，經n-2次兩兩相鄰比較後得次大的數；
3）依次類推，n個數共進行n-1趟比較，在第j趟中要進行n-j次兩兩比較。
程式段如下
void main()
{ int a[10];
int i,j,t;
printf("input 10 numbers"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
printf(""n");
for(j=0;j<=8;j++)
for(i=0;i<9-j;i++)
if(a[i]>a[i+1])
{t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t;}
printf("the sorted numbers:"n");
for(i=0;i<10;i++)
printf("%d"n",a[i]);
}

　　3．合并法排序（將兩個有序數組A、B合并成另一個有序的數組C，升序）

　　基本思想：
1）先在A、B數組中各取第一個元素進行比較，將小的元素放入C數組；
2）取小的元素所在數組的下一個元素與另一數組中上次比較後較大的元素比較，重複上述比較過程，直到某個數組被先排完；
3）將另一個數組剩餘元素抄入C數組，合并排序完成。
程式段如下：
void main()
{ int a[10],b[10],c[20],i,ia,ib,ic;
printf("please input the first array:"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&b[i]);
printf(""n");
ia=0;ib=0;ic=0;
while(ia<10&&ib<10)
{ if(a[ia]<b[ib])
{ c[ic]=a[ia];ia++;}
else
{ c[ic]=b[ib];ib++;}
ic++;
}
while(ia<=9)
{ c[ic]=a[ia];
ia++;ic++;
}
while(ib<=9)
{ c[ic]=b[ib];
b++;ic++;
}
for(i=0;i<20;i++)
printf("%d"n",c[i]);
}

　　六、尋找問題

　　1．①順序尋找法（在一列數中尋找某數x）

基本思想：一列數放在數組a[1]---a[n]中，待尋找的數放在x
中，把x與a數組中的元素從頭到尾一一進行比較尋找。用變數p表示a數組元素下標，p初值為1，使x與a[p]比較，如果x不等於a[p]，則使p=p+
1，不斷重複這個過程；一旦x等於a[p]則退出迴圈；另外，如果p大於數組長度，迴圈也應該停止。（這個過程可由下語句實現）
void main()
{ int a[10],p,x,i;
printf("please input the array:"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
printf("please input the number you want find:"n");
scanf("%d",&x);
printf(""n");
p=0;
while(x!=a[p]&&p<10)
p++;
if(p>=10)
printf("the number is not found!"n");
else
printf("the number is found the no%d!"n",p);
}
思考：將上面程式改寫一尋找函數Find，若找到則返回下標值，找不到返回-1
②基本思想：一列數放在數組a[1]---a[n]中，待尋找的關索引值為key，把key與a數組中的元素從頭到尾一一進行比較尋找，若相同，尋找成功，若找不到，則尋找失敗。(尋找子過程如下。index：存放找到元素的下標。)
void main()
{ int a[10],index,x,i;
printf("please input the array:"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
printf("please input the number you want find:"n");
scanf("%d",&x);
printf(""n");
index=-1;
for(i=0;i<10;i++)
if(x==a[i])
{ index=i; break;
}
if(index==-1)
printf("the number is not found!"n");
else
printf("the number is found the no%d!"n",index);
}

　　2．折半尋找法（只能對有序數列進行尋找）

　　基本思想：設n個有序數（從小到大）存放在數組a[1]----a[n]中，要尋找的數為x。用變數bot、top、mid 分別表示尋找資料範圍的底部（數組下界）、頂部（數組的上界）和中間，mid=(top+bot)/2，折半尋找的演算法如下：
（1）x=a(mid)，則已找到退出迴圈，否則進行下面的判斷；
（2）x<a(mid)，x必定落在bot和mid-1的範圍之內，即top=mid-1；
（3）x>a(mid)，x必定落在mid+1和top的範圍之內，即bot=mid+1；
（4）在確定了新的尋找範圍後，重複進行以上比較，直到找到或者bot<=top。
將上面的演算法寫成如下程式：
void main()
{
int a[10],mid,bot,top,x,i,find;
printf("please input the array:"n");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a[i]);
printf("please input the number you want find:"n");
scanf("%d",&x);
printf(""n");
bot=0;top=9;find=0;
while(bot<top&&find==0)
{ mid=(top+bot)/2;
if(x==a[mid])
{find=1;break;}
else if(x<a[mid])
top=mid-1;
else
bot=mid+1;
}
if (find==1)
printf("the number is found the no%d!"n",mid);
else
printf("the number is not found!"n");
}

　　七、插入法

　　把一個數插到有序數列中，插入後數列仍然有序

　　基本思想：n個有序數（從小到大）存放在數組a(1)—a(n)中，要插入的數x。首先確定x插在數組中的位置P；（可由以下語句實現）
#define N 10
void insert(int a[],int x)
{ int p, i;
p=0;
while(x>a[p]&&p<N)
p++;
for(i=N; i>p; i--)
a[i]=a[i-1];
a[p]=x;
}
main()
{ int a[N+1]={1,3,4,7,8,11,13,18,56,78}, x, i;
for(i=0; i<N; i++) printf("%d,", a[i]);
printf(""nInput x:");
scanf("%d", &x);
insert(a, x);
for(i=0; i<=N; i++) printf("%d,", a[i]);
printf(""n");
}

　　八、矩陣（二維數組）運算

（1）矩陣的加、減運算
C(i,j)=a(i,j)+b(i,j) 加法
C(i,j)=a(i,j)-b(i,j) 減法
（2）矩陣相乘
（矩陣A有M*L個元素，矩陣B有L*N個元素，則矩陣C=A*B有M*N個元素）。矩陣C中任一元素 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
#define M 2
#define L 4
#define N 3
void mv(int a[M][L], int b[L][N], int c[M][N])
{ int i, j, k;
for(i=0; i<M; i++)
for(j=0; j<N; j++)
{ c[i][j]=0;
for(k=0; k<L; k++)
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}
}
main()
{ int a[M][L]={{1,2,3,4},{1,1,1,1}};
int b[L][N]={{1,1,1},{1,2,1},{2,2,1},{2,3,1}}, c[M][N];
int i, j;
mv(a,b,c);
for(i=0; i<M; i++)
{ for(j=0; j<N; j++)
printf("%4d", c[i][j]);
printf(""n");
}
}
（3）矩陣傳置
例:有二維數組a(5,5)，要對它實現轉置，可用下面兩種方式：
#define N 3
void ch1(int a[N][N])
{ int i, j, t;
for(i=0; i<N; i++)
for(j=i+1; j<N; j++)
{ t=a[i][j];
a[i][j]=a[j][i];
a[j][i]=t;
}
}
void ch2(int a[N][N])
{ int i, j, t;
for(i=1; i<N; i++)
for(j= 0; j<i; j++)
{ t=a[i][j];
a[i][j]=a[j][i];
a[j][i]=t;
}
}
main()
{ int a[N][N]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}, i, j;
ch1(a); /*或ch2(a);*/
for(i=0; i<N; i++)
{ for(j=0; j<N; j++)
printf("%4d", a[i][j]);
printf(""n");
}
}
（4）求二維數組中最小元素及其所在的行和列
基本思路同一維數組，可用下面程式段實現（以二維數組a[3][4]為例）：
‘變數max中存放最大值，row,column存放最大值所在行列號
#define N 4
#define M 3
void min(int a[M][N])
{ int min, row, column, i, j;
min=a[0][0];
row=0;
column=0;
for(i=0; i<M; i++)
for(j=0; j<N; j++)
if(a[i][j]<min)
{ min=a[i][j];
row=i;
column=j;
}
printf("Min=%d"nAt Row%d,Column%d"n", min, row, column);
}
main()
{ int a[M][N]={{1,23,45,-5},{5,6,-7,6},{0,33,8,15}};
min(a);
}

　　九、迭代法

演算法思想：對於一個問題的求解x，可由給定的一個初值x0，根據某一迭代公式得到一個新的值x1，這個新值x1比初值x0更接近要求的值x；再以新值作
為初值，即：x1→x0,重新按原來的方法求x1,重複這一過和直到|x1-x0|<ε(某一給定的精度)。此時可將x1作為問題的解。
例：用迭代法求某個數的平方根。 已知求平方根的迭代公式為：
#include<math.h>
float fsqrt(float a)
{ float x0, x1;
x1=a/2;
do{
x0=x1;
x1=0.5*(x0+a/x0);
}while(fabs(x1-x0)>0.00001);
return(x1);
}
main()
{ float a;
scanf("%f", &a);
printf("genhao =%f"n", fsqrt(a));
}

　　十、數制轉換

　　將一個十進位整數m轉換成 →r(2－16)進位字串。

　　方法：將m不斷除 r 取餘數，直到商為零，以反序得到結果。下面寫出一轉換函式，參數idec為十進位數，ibase為要轉換成數的基（如二進位的基是2，八進位的基是8等），函數輸出結果是字串。
char *trdec(int idec, int ibase)
{ char strdr[20], t;
int i, idr, p=0;
while(idec!=0)
{ idr=idec % ibase;
if(idr>=10)
strdr[p++]=idr-10+65;
else
strdr[p++]=idr+48;
idec/=ibase;
}
for(i=0; i<p/2; i++)
{ t=strdr[i];
strdr[i]=strdr[p-i-1];
strdr[p-i-1]=t;
}
strdr[p]=’"0’;
return(strdr);
}
main()
{ int x, d;
scanf("%d%d", &x, &d);
printf("%s"n", trdec(x,d));
}

　　十一、字串的一般處理

　　1．簡單加密和解密
加密的思想是： 將每個字母C加（或減）一序數K，即用它後的第K個字母代替，變換式公式： c=c+k
例如序數k為5，這時 A→ F， a→f，B→?G… 當加序數後的字母超過Z或z則 c=c+k -26
例如：You are good→ Dtz fwj ltti
解密為加密的逆過程
將每個字母C減（或加）一序數K，即 c=c-k,
例如序數k為5，這時 Z→U，z→u，Y→T… 當加序數後的字母小於A或a則 c=c-k +26
下段程式是加密處理：
#include<stdio.h>
char *jiami(char stri[])
{ int i=0;
char strp[50],ia;
while(stri[i]!=’"0’)
{ if(stri[i]>=’A’&&stri[i]<=’Z’)
{ ia=stri[i]+5;
if (ia>’Z’) ia-=26;
}
else if(stri[i]>=’a’&&stri[i]<=’z’)
{ ia=stri[i]+5;
if (ia>’z’) ia-=26;
}
else ia=stri[i];
strp[i++]=ia;
}
strp[i]=’"0’;
return(strp);
}
main()
{ char s[50];
gets(s);
printf("%s"n", jiami(s));
}
2．統計文本單詞的個數
輸入一行字元，統計其中有多少個單詞，單詞之間用格分隔開。
演算法思路：
（1）從文本（字串）的左邊開始，取出一個字元；設邏輯量word表示所取字元是否是單詞內的字元，初值設為0
（2）若所取字元不是“空格”，“逗號”，“分號”或“驚嘆號”等單詞的分隔字元，再判斷word是否為1，若word不為1則表是新單詞的開始，讓單詞數num = num +1，讓word =1;
（3）若所取字元是“空格”，“逗號”，“分號”或“驚嘆號”等單詞的分隔字元， 則表示字元不是單詞內字元，讓word=0;
(4) 再依次取下一個字元，重得（2）(3)直到文本結束。
下面程式段是字串string中包含的單詞數
#include "stdio.h"
main()
{char c,string[80];
int i,num=0,word=0;
gets(string);
for(i=0;(c=string[i])!='"0';i++)
if(c==' ') word=0;
else if(word==0)
{ word=1;
num++;}
printf("There are %d word in the line."n",num);
}

　　十二、窮舉法

窮舉法（又稱“枚舉法”）的基本思想是：一一列舉各種可能的情況，並判斷哪一種可能是符合要求的解，這是一種“在沒有其它辦法的情況的方法”，是一種最“笨”的方法，然而對一些無法用解析法求解的問題往往能奏效，通常採用迴圈來處理窮舉問題。
例： 將一張面值為100元的人民幣等值換成100張5元、1元和0.5元的零鈔，要求每種零鈔不少於1張，問有哪幾種組合？
main()
{ int i, j, k;
printf(" 5元 1元 5角"n");
for(i=1; i<=20; i++)
for(j=1; j<=100-i; j++)
{ k=100-i-j;
if(5*i+1*j+0.5*k==100)
printf(" %3d %3d %3d"n", i, j, k);
}
}

　　十三、遞迴演算法

用自身的結構來描述自身，稱遞迴

VB允許在一個Sub子過程和Function過程的定義內部調用自己，即遞迴Sub子過程和遞迴Function函數。遞迴處理一般用棧來實現，每調用一次自身，把當前參數壓棧，直到遞迴結束條件；然後從棧中彈出當前參數，直到棧空。
遞迴條件：（1）遞迴結束條件及結束時的值；（2）能用遞迴形式表示，且遞迴向終止條件發展。
例：編fac(n)=n! 的遞迴函式
int fac(int n)
{ if(n==1)
return(1);
else
return(n*fac(n-1));
}
main()
{ int n;
scanf("%d", &n);
printf("n!=%d"n", fac(n));
}