NOI2004 能量採集

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CodeVS1937 能量採集 

2010年NOI全國競賽

題目描述  Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。

棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。

能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器串連而成的線段上有k棵植物，則能 量的損失為2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標為(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器串連的線段上沒有植物，則能量損失為1。現在要計算總的能量損失。

下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明了能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。

 

在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

輸入描述  Input Description

輸入檔案energy.in僅包含一行，為兩個整數n和m。

輸出描述  Output Description

輸出檔案energy.out僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

範例輸入  Sample Input【範例輸入1】

5 4

【範例輸入2】

3 4

範例輸出  Sample Output【範例輸出1】

36

【範例輸出2】

20

資料範圍及提示  Data Size & Hint

對於10%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10；

對於50%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100；

對於80%的資料：1 ≤ n, m ≤ 1000；

對於90%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

對於100%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

測試通過 Accepted總耗時: 12 ms0 / 0 資料通過測試.運行結果

測試點#energy1.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy10.in  結果:AC    記憶體使用量量:  1004kB     時間使用量:  3ms     
測試點#energy2.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy3.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy4.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy5.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy6.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy7.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy8.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     
測試點#energy9.in  結果:AC    記憶體使用量量:  256kB     時間使用量:  1ms     

Analysis先說一個小結論：對於一個直角座標繫上的點(x,y)，由(0,0)到(x,y)的連線上，橫縱座標都是正整數的點有gcd(x,y)個證明：http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/51346126這道題中每株植物的能量為2k+1，因為不包含自己所以k=gcd(x,y)-1，於是ans=∑[ gcd(i,j)*2-1 ]轉化一下，我們枚舉i=gcd(x,y)，記f[i]為“gcd(x,y)=i的點有多少個”，即“有多少對(x,y)使得gcd(x,y)=i”當x和y的範圍相同時，我們可以用歐拉函數算出這個值然而現在x和y的範圍分別為n和m，歐拉函數失效了這種方法是在hzwer上看到的：f[i]=(n/i)(m/i)-f[ki] ( k<=min(n,m) )應用了容斥其原理很簡單，(n/i)(m/i)表示有多少對(x,y)使得d|gcd(x,y)，那麼這裡面就包含了gcd=d,2d,3d....[n/d]d的數對我們只需要gcd=d的，只需把那些2d,3d的減去就行了當i=min(n,m)時，可以發現f[min(n,m)]是正確的，從f[min(n,m)]開始先前推就能得到所有的f[i]很神奇吧？這個方程很好懂，但是較難懂的就是hzw說它的時間複雜度是O(nlogn)，為此我寫了個小程式，計算(1+1/2+1/3+...1/n)，將其與log2(n)作比，發現當n=10的時候(1+1/2+1/3+...1/10)/logn=1.13，而當n=10^8時，該比值為1.39，我又輸出了中間的值，發現該比值是單調遞增的，於是乎，我們可以說 在1到10^8內，近似地認為(1+1/2+1/3+...1/n)=logn計算該方程的時間複雜度為O(nlogn)回到題目：ans=f[x](2*x-1)，複雜度是O(n)的Code

//CodeVS1937 能量採集 NOI2010#include <cstdio>#include <algorithm>#define maxn 1000010#define ll long longusing namespace std;ll N, M, ans, f[maxn], m;int main(){ll i, j, x;scanf("%ld%ld",&N,&M);m=min(N,M);for(i=m;i;i--){f[i]=(N/i)*(M/i);for(j=(i<<1);j<=m;j+=i)f[i]-=f[j];}for(i=1;i<=m;i++)ans+=f[i]*(2*i-1);printf("%lld\n",ans);return 0;}

NOI2004 能量採集