C語言演算法速查手冊

 

 

第1章　緒論　1
1.1　程式設計語言概述　1
1.1.1　機器語言　1
1.1.2　組合語言　2
1.1.3　進階語言　2
1.1.4　C語言　3
1.2　C語言的優點和缺點　4
1.2.1　C語言的優點　4
1.2.2　C語言的缺點　6
1.3　演算法概述　7
1.3.1　演算法的基本特徵　7
1.3.2　演算法的複雜度　8
1.3.3　演算法的準確性　10
1.3.4　演算法的穩定性　14

第2章　複數運算　18
2.1　複數的四則運算　18
2.1.1　[演算法1]　複數乘法　18
2.1.2　[演算法2]　複數除法　20
2.1.3　【執行個體5】 複數的四則運算　22
2.2　複數的常用函數運算　23
2.2.1　[演算法3]　複數的乘冪　23
2.2.2　[演算法4]　複數的n次方根　25
2.2.3　[演算法5]　複數指數　27
2.2.4　[演算法6]　複數對數　29
2.2.5　[演算法7]　複數正弦　30
2.2.6　[演算法8]　複數餘弦　32
2.2.7　【執行個體6】 複數的函數運算　34

第3章　多項式計算　37
3.1　多項式的表示方法　37
3.1.1　係數標記法　37
3.1.2　點標記法　38
3.1.3　[演算法9]　係數表示轉化為點表示　38
3.1.4　[演算法10]　點表示轉化為係數表示　42
3.1.5　【執行個體7】　係數標記法與點標記法的轉化　46
3.2　多項式運算　47
3.2.1　[演算法11]　複係數多項式相乘　47
3.2.2　[演算法12]　實係數多項式相乘　50
3.2.3　[演算法13]　複係數多項式相除　52
3.2.4　[演算法14]　實係數多項式相除　54
3.2.5　【執行個體8】　複係數多項式的乘除法　56
3.2.6　【執行個體9】　實係數多項式的乘除法　57
3.3　多項式的求值　59
3.3.1　[演算法15]　一元多項式求值　59
3.3.2　[演算法16]　一元多項式多組求值　60
3.3.3　[演算法17]　二元多項式求值　63
3.3.4　【執行個體10】　一元多項式求值　65
3.3.5　【執行個體11】　二元多項式求值　66

第4章　矩陣計算　68
4.1　矩陣相乘　68
4.1.1　[演算法18]　實矩陣相乘　68
4.1.2　[演算法19]　複矩陣相乘　70
4.1.3　【執行個體12】 實矩陣與複矩陣的乘法　72
4.2　矩陣的秩與行列式值　73
4.2.1　[演算法20]　求矩陣的秩　73
4.2.2　[演算法21]　求一般矩陣的行列式值　76
4.2.3　[演算法22]　求對稱正定矩陣的行列式值　80
4.2.4　【執行個體13】 求矩陣的秩和行列式值　82
4.3　矩陣求逆　84
4.3.1　[演算法23]　求一般複矩陣的逆　84
4.3.2　[演算法24]　求對稱正定矩陣的逆　90
4.3.3　[演算法25]　求托伯利茲矩陣逆的Trench方法　92
4.3.4　【執行個體14】 驗證矩陣求逆演算法　97
4.3.5　【執行個體15】 驗證T矩陣求逆演算法　99
4.4　矩陣分解與相似變換　102
4.4.1　[演算法26]　實對稱矩陣的LDL分解　102
4.4.2　[演算法27]　對稱正定實矩陣的Cholesky分解　104
4.4.3　[演算法28]　一般實矩陣的全選主元LU分解　107
4.4.4　[演算法29]　一般實矩陣的QR分解　112
4.4.5　[演算法30]　對稱實矩陣相似變換為對稱三對角陣　116
4.4.6　[演算法31]　一般實矩陣相似變換為上Hessen-Burg矩陣　121
4.4.7　【執行個體16】 對一般實矩陣進行QR分解　126
4.4.8　【執行個體17】 對稱矩陣的相似變換　127
4.4.9　【執行個體18】 一般實矩陣相似變換　129
4.5　矩陣特徵值的計算　130
4.5.1　[演算法32]　求上Hessen-Burg矩陣全部特徵值的QR方法　130
4.5.2　[演算法33]　求對稱三對角陣的全部特徵值　137
4.5.3　[演算法34]　求對稱矩陣特徵值的雅可比法　143
4.5.4　[演算法35]　求對稱矩陣特徵值的雅可比過關法　147
4.5.5　【執行個體19】 求上Hessen-Burg矩陣特徵值　151
4.5.6　【執行個體20】 分別用兩種雅克比法求對稱矩陣特徵值　152

第5章　線性代數方程組的求解　154
5.1　高斯消去法　154
5.1.1　[演算法36]　求解複係數方程組的全選主元高斯消去法　155
5.1.2　[演算法37]　求解實係數方程組的全選主元高斯消去法　160
5.1.3　[演算法38]　求解複係數方程組的全選主元高斯-約當消去法　163
5.1.4　[演算法39]　求解實係數方程組的全選主元高斯-約當消去法　168
5.1.5　[演算法40]　求解大型稀疏係數矩陣方程組的高斯-約當消去法　171
5.1.6　[演算法41]　求解三對角線方程組的追趕法　174
5.1.7　[演算法42]　求解帶型方程組的方法　176
5.1.8　【執行個體21】 解線性實係數方程組　179
5.1.9　【執行個體22】 解線性複係數方程組　180
5.1.10　【執行個體23】 解三對角線方程組　182
5.2　矩陣分解法　184
5.2.1　[演算法43]　求解對稱方程組的LDL分解法　184
5.2.2　[演算法44]　求解對稱正定方程組的Cholesky分解法　186
5.2.3　[演算法45]　求解線性最小二乘問題的QR分解法　188
5.2.4　【執行個體24】 求解對稱正定方程組　191
5.2.5　【執行個體25】 求解線性最小二乘問題　192
5.3　迭代方法　193
5.3.1　[演算法46]　病態方程組的求解　193
5.3.2　[演算法47]　雅克比迭代法　197
5.3.3　[演算法48]　高斯-塞德爾迭代法　200
5.3.4　[演算法49]　超鬆弛方法　203
5.3.5　[演算法50]　求解對稱正定方程組的共軛梯度方法　205
5.3.6　[演算法51]　求解托伯利茲方程組的列文遜方法　209
5.3.7　【執行個體26】 解病態方程組　214
5.3.8　【執行個體27】 用迭代法解方程組　215
5.3.9　【執行個體28】 求解托伯利茲方程組　217

第6章　非線性方程與方程組的求解　219
6.1　非線性方程求根的基本過程　219
6.1.1　確定非線性方程實根的初始近似值或根的所在區間　219
6.1.2　求非線性方程根的精確解　221
6.2　求非線性方程一個實根的方法　221
6.2.1　[演算法52]　對分法　221
6.2.2　[演算法53]　牛頓法　223
6.2.3　[演算法54]　插值法　226
6.2.4　[演算法55]　埃特金迭代法　229
6.2.5　【執行個體29】 用對分法求非線性方程組的實根　232
6.2.6　【執行個體30】 用牛頓法求非線性方程組的實根　233
6.2.7　【執行個體31】 用插值法求非線性方程組的實根　235
6.2.8　【執行個體32】 用埃特金迭代法求非線性方程組的實根　237
6.3　求實係數多項式方程全部根的方法　238
6.3.1　[演算法56]　QR方法　238
6.3.2　【執行個體33】　用QR方法求解多項式的全部根　240
6.4　求非線性方程組一組實根的方法　241
6.4.1　[演算法57]　梯度法　241
6.4.2　[演算法58]　擬牛頓法　244
6.4.3　【執行個體34】 用梯度法計算非線性方程組的一組實根　250
6.4.4　【執行個體35】 用擬牛頓法計算非線性方程組的一組實根　252

第7章　代數插值法　254
7.1　拉格朗日插值法　254
7.1.1　[演算法59]　線性插值　255
7.1.2　[演算法60]　二次拋物線插值　256
7.1.3　[演算法61]　全區間插值　259
7.1.4　【執行個體36】 拉格朗日插值　262
7.2　埃爾米特插值　263
7.2.1　[演算法62]　埃爾米特不等距插值　263
7.2.2　[演算法63]　埃爾米特等距插值　267
7.2.3　【執行個體37】 埃爾米特插值法　270
7.3　埃特金逐步插值　271
7.3.1　[演算法64]　埃特金不等距插值　272
7.3.2　[演算法65]　埃特金等距插值　275
7.3.3　【執行個體38】 埃特金插值　278
7.4　光滑插值　279
7.4.1　[演算法66]　光滑不等距插值　279
7.4.2　[演算法67]　光滑等距插值　283
7.4.3　【執行個體39】 光滑插值　286
7.5　三次樣條插值　287
7.5.1　[演算法68]　第一類邊界條件的三次樣條函數插值　287
7.5.2　[演算法69]　第二類邊界條件的三次樣條函數插值　292
7.5.3　[演算法70]　第三類邊界條件的三次樣條函數插值　296
7.5.4　【執行個體40】 樣條插值法　301
7.6　連分式插值　303
7.6.1　[演算法71]　連分式插值　304
7.6.2　【執行個體41】 驗證連分式插值的函數　308

第8章　數值積分法　309
8.1　變步長求積法　310
8.1.1　[演算法72]　變步長梯形求積法　310
8.1.2　[演算法73]　自適應梯形求積法　313
8.1.3　[演算法74]　變步長辛蔔生求積法　316
8.1.4　[演算法75]　變步長辛蔔生二重積分方法　318
8.1.5　[演算法76]　龍貝格積分　322
8.1.6　【執行個體42】 變步長積分法進行一重積分　325
8.1.7　【執行個體43】 變步長辛蔔生積分法進行二重積分　326
8.2　高斯求積法　328
8.2.1　[演算法77]　勒讓德-高斯求積法　328
8.2.2　[演算法78]　切比雪夫求積法　331
8.2.3　[演算法79]　拉蓋爾-高斯求積法　334
8.2.4　[演算法80]　埃爾米特-高斯求積法　336
8.2.5　[演算法81]　自適應高斯求積方法　337
8.2.6　【執行個體44】 有限區間高斯求積法　342
8.2.7　【執行個體45】 半無限區間內高斯求積法　343
8.2.8　【執行個體46】 無限區間內高斯求積法　345
8.3　連分式法　346
8.3.1　[演算法82]　計算一重積分的連分式方法　346
8.3.2　[演算法83]　計算二重積分的連分式方法　350
8.3.3　【執行個體47】 連分式法進行一重積分　354
8.3.4　【執行個體48】 連分式法進行二重積分　355
8.4　蒙特卡洛法　356
8.4.1　[演算法84]　蒙特卡洛法進行一重積分　356
8.4.2　[演算法85]　蒙特卡洛法進行二重積分　358
8.4.3　【執行個體49】 一重積分的蒙特卡洛法　360
8.4.4　【執行個體50】 二重積分的蒙特卡洛法　361

第9章　常微分方程(組)初值問題的求解　363
9.1　歐拉方法　364
9.1.1　[演算法86]　定步長歐拉方法　364
9.1.2　[演算法87]　變步長歐拉方法　366
9.1.3　[演算法88]　改進的歐拉方法　370
9.1.4　【執行個體51】 歐拉方法求常微分方程數值解　372
9.2　龍格-庫塔方法　376
9.2.1　[演算法89]　定步長龍格-庫塔方法　376
9.2.2　[演算法90]　變步長龍格-庫塔方法　379
9.2.3　[演算法91]　變步長基爾方法　383
9.2.4　【執行個體52】 龍格-庫塔方法求常微分方程的初值問題　386
9.3　線性多步法　390
9.3.1　[演算法92]　阿當姆斯預報校正法　390
9.3.2　[演算法93]　哈明方法　394
9.3.3　[演算法94]　全區間積分的雙邊法　399
9.3.4　【執行個體53】 線性多步法求常微分方程組初值問題　401

第10章　擬合與逼近　405
10.1　一元多項式擬合　405
10.1.1　[演算法95]　最小二乘擬合　405
10.1.2　[演算法96]　最佳一致逼近的裡米茲方法　412
10.1.3　【執行個體54】 一元多項式擬合　417
10.2　矩形地區曲面擬合　419
10.2.1　[演算法97]　矩形地區最小二乘曲面擬合　419
10.2.2　【執行個體55】 二元多項式擬合　428

第11章　特殊函數　430
11.1　連分式級數和指數積分　430
11.1.1　[演算法98]　連分式級數求值　430
11.1.2　[演算法99]　指數積分　433
11.1.3　【執行個體56】 連分式級數求值　436
11.1.4　【執行個體57】 指數積分求值　438
11.2　伽馬函數　439
11.2.1　[演算法100]　伽馬函數　439
11.2.2　[演算法101]　貝塔函數　441
11.2.3　[演算法102]　階乘　442
11.2.4　【執行個體58】　伽馬函數和貝塔函數求值　443
11.2.5　【執行個體59】　階乘求值　444
11.3　不完全伽馬函數　445
11.3.1　[演算法103]　不完全伽馬函數　445
11.3.2　[演算法104]　誤差函數　448
11.3.3　[演算法105]　卡方分布函數　450
11.3.4　【執行個體60】　不完全伽馬函數求值　451
11.3.5　【執行個體61】　誤差函數求值　452
11.3.6　【執行個體62】　卡方分布函數求值　453
11.4　不完全貝塔函數　454
11.4.1　[演算法106]　不完全貝塔函數　454
11.4.2　[演算法107]　學生分布函數　457
11.4.3　[演算法108]　累積二項式分布函數　458
11.4.4　【執行個體63】　不完全貝塔函數求值　459
11.5　貝塞爾函數　461
11.5.1　[演算法109]　第一類整數階貝塞爾函數　461
11.5.2　[演算法110]　第二類整數階貝塞爾函數　466
11.5.3　[演算法111]　變型第一類整數階貝塞爾函數　469
11.5.4　[演算法112]　變型第二類整數階貝塞爾函數　473
11.5.5　【執行個體64】　貝塞爾函數求值　476
11.5.6　【執行個體65】　變型貝塞爾函數求值　477
11.6　Carlson橢圓積分　479
11.6.1　[演算法113]　第一類橢圓積分　479
11.6.2　[演算法114]　第一類橢圓積分的退化形式　481
11.6.3　[演算法115]　第二類橢圓積分　483
11.6.4　[演算法116]　第三類橢圓積分　486
11.6.5　【執行個體66】　第一類勒讓德橢圓函數積分求值　490
11.6.6　【執行個體67】　第二類勒讓德橢圓函數積分求值　492

第12章　極值問題　494
12.1　一維極值求解方法　494
12.1.1　[演算法117]　確定極小值點所在的區間　494
12.1.2　[演算法118]　一維黃金分割搜尋　499
12.1.3　[演算法119]　一維Brent方法　502
12.1.4　[演算法120]　使用一階導數的Brent方法　506
12.1.5　【執行個體68】　使用黃金分割搜尋法求極值　511
12.1.6　【執行個體69】　使用Brent法求極值　513
12.1.7　【執行個體70】　使用帶導數的Brent法求極值　515
12.2　多元函數求極值　517
12.2.1　[演算法121]　不需要導數的一維搜尋　517
12.2.2　[演算法122]　需要導數的一維搜尋　519
12.2.3　[演算法123]　Powell方法　522
12.2.4　[演算法124]　共軛梯度法　525
12.2.5　[演算法125]　准牛頓法　531
12.2.6　【執行個體71】　驗證不使用導數的一維搜尋　536
12.2.7　【執行個體72】　用Powell演算法求極值　537
12.2.8　【執行個體73】　用共軛梯度法求極值　539
12.2.9　【執行個體74】　用准牛頓法求極值　540
12.3　單純形法　542
12.3.1　[演算法126]　求無約束條件下n維極值的單純形法　542
12.3.2　[演算法127]　求有約束條件下n維極值的單純形法　548
12.3.3　[演算法128]　解線性規劃問題的單純形法　556
12.3.4　【執行個體75】　用單純形法求無約束條件下N維的極值　568
12.3.5　【執行個體76】　用單純形法求有約束條件下N維的極值　569
12.3.6　【執行個體77】　求解線性規劃問題　571

第13章　隨機數產生與統計描述　574
13.1　均勻分布隨機序列　574
13.1.1　[演算法129]　產生0到1之間均勻分布的一個隨機數　574
13.1.2　[演算法130]　產生0到1之間均勻分布的隨機數序列　576
13.1.3　[演算法131]　產生任意區間內均勻分布的一個隨機整數　577
13.1.4　[演算法132]　產生任意區間內均勻分布的隨機整數序列　578
13.1.5　【執行個體78】　產生0到1之間均勻分布的隨機數序列　580
13.1.6　【執行個體79】　產生任意區間內均勻分布的隨機整數序列　581
13.2　常態分佈隨機序列　582
13.2.1　[演算法133]　產生任意均值與方差的常態分佈的一個隨機數　582
13.2.2　[演算法134]　產生任意均值與方差的常態分佈的隨機數序列　585
13.2.3　【執行個體80】　產生任意均值與方差的常態分佈的一個隨機數　587
13.2.4　【執行個體81】　產生任意均值與方差的常態分佈的隨機數序列　588
13.3　統計描述　589
13.3.1　[演算法135]　分布的矩　589
13.3.2　[演算法136]　方差相同時的t分布檢驗　591
13.3.3　[演算法137]　方差不同時的t分布檢驗　594
13.3.4　[演算法138]　方差的F檢驗　596
13.3.5　[演算法139]　卡方檢驗　599
13.3.6　【執行個體82】　計算隨機樣本的矩　601
13.3.7　【執行個體83】　t分布檢驗　602
13.3.8　【執行個體84】　F分布檢驗　605
13.3.9　【執行個體85】　檢驗卡方檢驗的演算法　607

第14章　尋找　609
14.1　基本尋找　609
14.1.1　[演算法140]　有序數組的二分尋找　609
14.1.2　[演算法141]　無序數組同時尋找最大和最小的元素　611
14.1.3　[演算法142]　無序數組尋找第M小的元素　613
14.1.4　【執行個體86】　基本尋找　615
14.2　結構體和磁碟檔案的尋找　617
14.2.1　[演算法143]　無序結構體數組的順序尋找　617
14.2.2　[演算法144]　磁碟檔案中記錄的順序尋找　618
14.2.3　【執行個體87】　結構體數組和檔案中的尋找　619
14.3　雜湊尋找　622
14.3.1　[演算法145]　字串雜湊函數　622
14.3.2　[演算法146]　雜湊函數　626
14.3.3　[演算法147]　向雜湊表中插入元素　628
14.3.4　[演算法148]　在雜湊表中尋找元素　629
14.3.5　[演算法149]　在雜湊表中刪除元素　631
14.3.6　【執行個體88】　構造雜湊表並進行尋找　632

第15章　排序　636
15.1　插入排序　636
15.1.1　[演算法150]　直接插入排序　636
15.1.2　[演算法151]　希爾排序　637
15.1.3　【執行個體89】　插入排序　639
15.2　交換排序　641
15.2.1　[演算法152]　氣泡排序　641
15.2.2　[演算法153]　快速排序　642
15.2.3　【執行個體90】　交換排序　644
15.3　選擇排序　646
15.3.1　[演算法154]　直接選擇排序　646
15.3.2　[演算法155]　堆排序　647
15.3.3　【執行個體91】　選擇排序　650
15.4　線性時間排序　651
15.4.1　[演算法156]　計數排序　651
15.4.2　[演算法157]　基數排序　653
15.4.3　【執行個體92】　線性時間排序　656
15.5　歸併排序　657
15.5.1　[演算法158]　二路歸併排序　658
15.5.2　【執行個體93】　二路歸併排序　660

第16章　數學變換與濾波　662
16.1　快速傅裡葉變換　662
16.1.1　[演算法159]　複資料快速傅裡葉變換　662
16.1.2　[演算法160]　複資料快速傅裡葉逆變換　666
16.1.3　[演算法161]　實資料快速傅裡葉變換　669
16.1.4　【執行個體94】　驗證傅裡葉變換的函數　671
16.2　其他常用變換　674
16.2.1　[演算法162]　快速沃爾什變換　674
16.2.2　[演算法163]　快速哈達瑪變換　678
16.2.3　[演算法164]　快速餘弦變換　682
16.2.4　【執行個體95】　驗證沃爾什變換和哈達瑪的函數　684
16.2.5　【執行個體96】　驗證離散餘弦變換的函數　687
16.3　平滑和濾波　688
16.3.1　[演算法165]　五點三次平滑　689
16.3.2　[演算法166]　α-β-γ濾波　690
16.3.3　【執行個體97】　驗證五點三次平滑　692
16.3.4　【執行個體98】　驗證α-β-γ濾波演算法　693

 

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