解同餘式ax ≡ c(mod m)

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將式子變形為

ax-c=my

可以看出原式有解若且唯若線性方程ax-my=c有解

設g = gcd(a, m)

則所有形如ax-my的數都是g的倍數

因此如果g不整除c則原方程無解。

 

下面假設g整除c：

利用擴充歐幾裡得演算法解出 au + mv =g 一個特解(u0, v0)

所以可用整數c/g乘上上式

au0*(c/g) + mv0*(c/g) = c

得到原式的解x0 = u0*(c/g)

 

解的個數：

假設x1是ax ≡ c(mod m)的其他解

ax1 ≡ ax2(mod m),所以m整除ax1 - ax2

所以(m/g)整除(a/g)(x1-x2)

因為(m/g)與(a/g)互質，所以(m/g)整除(x1-x2)

原方程的通解為x = x0 + k*(m/g)　　　　(k = 0, 1, 2, …… g-1)

共g個

 1 void solve(int a, int c, int m) 2 { 3     int u0, v0; 4     int g = ex_gcd(a, m, u0, v0); 5     if(c%g != 0) 6     { 7         printf("The equation has no solution!\n"); 8         return; 9     }10     int i, x;11     for(i=0; i<g; ++i)12     {13         x = c/g*u0 + m/g*i;14         x = x % m;15         if(x<0)16             x+=m;17         printf("%d\n", x);18     }19 }

代碼君