訊號截斷、能量泄漏及窗函數

     做散斑相關真心苦逼，一點思路都沒有。眼看到研二了，哎，愁啊！最近考慮把位相相關和散斑結合起來看一下，結果在位相相關中遇到edge effects。看了一些論文，說必須加窗。對於窗函數不是很瞭解，在網上看到這篇文章，感覺還可以。

http://yangcui26.blog.163.com/blog/static/37487453200791685722957/

6.4.1 訊號截斷及能量泄漏效應

　　數字訊號處理的主要數學工具是傅裡葉變換。應注意到，傅裡葉變換是研究 整個時間域和頻率域的關係。然而，當運用電腦實現工程測試訊號處理時，不可能對無限長的訊號進行測量和運算，而是 取其有限的時間片段進行分析。做法是從訊號中截取一個時間片段，然後用觀察的訊號時間片段進行 周期延拓處理，得到 虛擬無限長的訊號，然後就可以對訊號進行傅裡葉變換、相關分析等數學處理。 

圖6.4-1

　　周期延拓後的訊號與真實訊號是不同的，下面從數學的角度來看這種處理帶來的誤差情況。設有餘弦訊號x（t）在時域分布為無限長（- ∞，∞），當用矩形窗函數w(t)與其相乘時，得到截斷訊號xT(t)=x(t)w(t)。根據博裡葉變換關係，餘弦訊號的頻譜X（ω）是位於ω。處的δ函數，而矩形窗函數w(t)的譜為sinc(ω)函數，按照頻域卷積定理，則截斷訊號xT(t)的譜XT(ω)
應為

　　將截斷訊號的譜XT(ω)與原始訊號的譜X（ω）相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續譜。這表明原來的訊號被截斷以後，其頻譜發生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現象稱之為頻譜能量泄漏（Leakage）。 

　　訊號截斷以後產生的能量泄漏現象是必然的，因為窗函數w(t)是一個頻帶無限的函數，所以即使原訊號x(t)是限頻寬訊號，而在截斷以後也必然成為無限頻寬的函數，即訊號在頻域的能量與分布被擴充了。又從採樣定理可知，無論採樣頻率多高，只要訊號一經截斷，就不可避免地引起混疊，因此訊號截斷必然導致一些誤差，這是訊號分析中不容忽視的問題。 

　　如果增大截斷長度T，即矩形視窗加寬，則窗譜W（ω）將被壓縮變窄（π／T減小）。雖然理論上講，其頻譜範圍仍為無限寬，但實際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當視窗寬度T趨於無窮大時，則譜窗W（ω）將變為δ（ω）函數，而δ（ω）與X（ω）的卷積仍為H（ω），這說明，如果視窗無限寬，即不截斷，就不存在泄漏誤差。 

圖6.4-2

　　為了減少頻譜能量泄漏，可採用不同的截取函數對訊號進行截斷，截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗。泄漏與窗函數頻譜的兩側旁瓣有關，如果兩側p旁瓣的高度趨於零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近於真實的頻譜，為此，在時間域中可採用不同的窗函數來截斷訊號。

　
6.4.2常用窗函數

。。實際應用的窗函數，可分為以下主要類型：

冪窗：採用時間變數某種冪次的函數，如矩形、三角形、梯形或其它時間函數x(t)的高次冪；

三角函數窗：應用三角函數，即正弦或餘弦函數等組合成複合函數，例如漢寧窗、海明窗等；
指數窗。。：採用指數時間函數，如e-st形式，例如高斯窗等。

。。下面介紹幾種常用窗函數的性質和特點。

(l) 矩形窗
　　矩形窗屬於時間變數的零次冪窗，函數形式為

相應的窗譜為

　　矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使訊號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，並有負旁瓣（所示），導致變換中帶進了高頻幹擾和泄漏，甚至出現負譜現象。

圖6.4-3

(2) 三角窗
。。三角窗亦稱費傑（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式，其定義為

相應的窗譜為

。。三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等於矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣，如所示。 

圖6.4-4