BZOJ 2005 能量採集

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題目連結：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=36402

題意：在一塊長方形的地上，種了一種能量植物，植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，每個植物對應一個座標(x, y)。在(0, 0)處有一個能量收集器，每個植物到能量收集器都有能量損失，如果一棵植物與能量彙集機器串連而成的線段上有k棵植物，則能量的損失為2k + 1，如果一棵植物與能量彙集機器串連的線段上沒有植物，則能量損失為1。求總能量損失。

思路：令f[d]為(x, y) = d的對數，那麼答案就是sigma(f[i]*((i-1)*2+1))。分兩步來理解這個結論，if gcd(x1, y1) = gcd(x2, y2)那麼他們的能量損失一樣多（與能量彙集機器串連而成的線段上的植物一樣多），再來看看具體的能量損失（也就是如何判斷連接線段上的植物有多少棵），那麼顯然與gcd的值有關，結果就是2 * gcd - 1。

code：

 1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 using namespace std; 4  5 typedef long long LL; 6 const int MAXN = 100005; 7 LL f[MAXN];    // f[i]表示滿足gcd(x, y) = i (1 <= x <= n, 1 <= y <= m)的對數 8  9 int main()10 {11     LL n, m;12     while (scanf("%lld %lld", &n, &m) != EOF) {13         if (n > m) swap(n, m);14         LL ans = 0;15         for (int i = n; i >= 1; --i) {16             f[i] = (n / i) * (m / i);17             for (int j = i + i; j <= n; j += i) {18                 f[i] -= f[j];19             }20             ans += f[i] * (2 * i - 1);    // 所有gcd(x, y) = i，產生的能量損失就算出來了21         }22         printf("%lld\n", ans);23     }24     return 0;25 }

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