BZOJ 2005: [Noi2010]能量採集( 數論 + 容斥原理 )

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一個點(x, y)的能量損失為 (gcd(x, y) - 1) * 2 + 1 = gcd(x, y) *  2 - 1.

設g(i)為 gcd(x, y) = i ( 1 <= x <= n, 1 <= y <= m ) 的數對(x, y)個數. 這個不好求, 考慮容斥, 設f(i) 為含有公因數 i 的數對(x, y)(1 <= x <= n, 1 <= y <= m)個數 , 顯然f(i) = (n / i) * (m / i). 則 g(i) = f(i) - ∑f(i * k) ( k >= 2 , i * k <= min(n, m) ).

然後answer = ∑(g(i) * 2 - 1) 

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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 100009; ll f[maxn]; int main() {ll ans = 0;int n, m;cin >> n >> m;int h = min(n, m);for(int i = h; i; i--) {f[i] = 1LL * (n / i) * (m / i);for(int j = i << 1; j <= h; j += i)    f[i] -= f[j];ans += f[i] * ((i << 1) - 1);}cout << ans << "\n";return 0;}

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2005: [Noi2010]能量採集Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 552 MB
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[Submit][Status][Discuss]Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。 能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器串連而成的線段上有k棵植物，則能量的損失為2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標為(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器串連的線段上沒有植物，則能量損失為1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明了能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，為兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input【範例輸入1】
5 4


【範例輸入2】
3 4

Sample Output【範例輸出1】
36

【範例輸出2】
20

【資料規模和約定】
對於10%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10；

對於50%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100；

對於80%的資料：1 ≤ n, m ≤ 1000；

對於90%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

對於100%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
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數學題

 

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