BZOJ 2005 [Noi2010]能量採集 (容斥)

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棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。 能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器串連而成的線段上有k棵植物，則能量的損失為2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標為(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器串連的線段上沒有植物，則能量損失為1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明了能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，為兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input【範例輸入1】
5 4

【範例輸入2】
3 4
Sample Output【範例輸出1】
36

【範例輸出2】
20

【資料規模和約定】
對於10%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10；

對於50%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100；

對於80%的資料：1 ≤ n, m ≤ 1000；

對於90%的資料：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

對於100%的資料：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

題目分析：首先不難發現點(x,y)和(0,0)點之間的植物個數為gcd(x,y)-1，因此題目要求的實際上就是Σi(1-n)Σj(1-m) [2 * (gcd(i, j) - 1) - 1]，化簡一下得 2 * Σi(1-n)Σj(1-m) gcd(i, j) - n * m，現在問題就是如何快速求Σi(1-n)Σj(1-m) gcd(i, j)，可以用莫比烏斯反演搞，不過直接nlogn的容斥就可以了，cnt[i]記錄的是最大公約數為i的二元組個數，首先(n / i) * (m / i)是所有以i為公約數的二元組個數  那麼拿cnt[i]減去所有的cnt[j](j為i的倍數)，剩下的就是所有以i為最大公約數的二元組個數，注意這裡枚舉約數時要倒序，因為我們要用小的減大的，要保證大的已經算出來了，然後按照公式計算即可，注意要用long long

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define ll long longusing namespace std;int const MAX = 1e5 + 5;ll cnt[MAX];int main(){    ll ans = 0;    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));    ll n, m;    scanf("%lld %lld", &n, &m);    if(n < m)        swap(n, m);    for(int i = n; i >= 1; i--)    {        cnt[i] = (ll) (n / i) * (m / i);        for(int j = i * 2; j <= n; j += i)            cnt[i] -= cnt[j];        ans += i * cnt[i];    }    printf("%lld\n", 2 * ans - n * m);}

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