【BZOJ】【2005】【NOI2010】能量採集

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歐拉函數

　　瑪雅，我應該先看看JZP的論文的……賈志鵬《線性篩法與積性函數》例題一

　　這題的做法……仔細想下可以得到：$ans=2*\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m gcd(a,b)-n*m$

　　那麼重點就在於算$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m gcd(a,b)$這個東西

 

copy一下JZP的推導過程：

$$ \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^m gcd(a,b)=&\sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^m \sum_{d|gcd(a,b)} \varphi(d) $$

$$ = \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^m \sum_{d|a && d|b} \varphi(d) \\ = \sum \varphi(d) \sum_{1 \leq a \leq n && d|a} \sum{1 \leq b \leq m && d|b} 1 \\ = \sum \varphi(d) ( \sum_{1 \leq a \leq n && d|a} 1) * ( \sum_{1 \leq b \leq m && d|b} 1) \\ = \sum \varphi(d) \frac{n}{d} \frac{m}{d}  \]

 1 /************************************************************** 2     Problem: 2005 3     User: Tunix 4     Language: C++ 5     Result: Accepted 6     Time:40 ms 7     Memory:2152 kb 8 ****************************************************************/ 9  10 //BZOJ 200511 #include<cstdio>12 #include<cstring>13 #include<cstdlib>14 #include<iostream>15 #include<algorithm>16 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)17 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)18 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)19 using namespace std;20 typedef long long LL;21 inline int getint(){22     int r=1,v=0; char ch=getchar();23     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch==‘-‘)r=-1;24     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10+ch-‘0‘;25     return r*v;26 }27 const int N=1e5+10,INF=~0u>>2;28 /*****************template**********************/29 int phi[N],prime[N],tot,n,m;30 bool check[N];31 void getphi(int n){32     memset(check,0,sizeof check);33     phi[1]=1;34     int tot=0;35     F(i,2,n){36         if(!check[i]){37             prime[++tot]=i;38             phi[i]=i-1;39         }40         F(j,1,tot){41             if(i*prime[j]>n) break;42             check[i*prime[j]]=1;43             if(i%prime[j]==0){44                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];45                 break;46             }47             else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);48         }49     }50 }51 int main(){52     n=getint(); m=getint();53     if (n>m) swap(n,m);54     getphi(N-1);55     LL ans=0;56     F(i,1,n)57         ans+=(LL)phi[i]*(n/i)*(m/i);58     printf("%lld\n",ans*2-(LL)n*m);59     return 0;60 }

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