[題解]vijos & codevs 能量項鏈

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描述

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶著一串能量項鏈。在項鏈上有N顆能量珠。能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應著某個正整數。並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。因為只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能彙總成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。如果前一顆能量珠的頭標記為m，尾標記為r，後一顆能量珠的頭標記為r，尾標記為n，則彙總後釋放的能量為（Mars單位），新產生的珠子的頭標記為m，尾標記為n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過彙總得到能量，直到項鏈上只剩下一顆珠子為止。顯然，不同的彙總順序得到的總能量是不同的，請你設計一個彙總順序，使一串項鏈釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次為(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我們用記號⊕表示兩顆珠子的彙總操作，(j⊕k)表示第j，k兩顆珠子彙總後所釋放的能量。則第4、1兩顆珠子彙總後釋放的能量為：
(4⊕1)=10*2*3=60。

這一串項鏈可以得到最優值的一個彙總順序所釋放的總能量為
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

格式輸入格式

輸入檔案的第一行是一個正整數N（4≤N≤100），表示項鏈上珠子的個數。第二行是N個用空格隔開的正整數，所有的數均不超過1000。第i個數為第i顆珠子的頭標記（1≤i≤N），當1≤i＜N時，第i顆珠子的尾標記應該等於第i+1顆珠子的頭標記。第N顆珠子的尾標記應該等於第1顆珠子的頭標記。

至於珠子的順序，你可以這樣確定：將項鏈放到案頭上，不要出現交叉，隨意指定第一顆珠子，然後按順時針方向確定其他珠子的順序。

輸出格式

輸出檔案只有一行，是一個正整數E（E≤2.1*109），為一個最優彙總順序所釋放的總能量。

範例1範例輸入1

42 3 5 10

範例輸出1

710

 

限制

1s

來源

NOIP2006第一題

(轉自Vijos1312,題目傳送門[codevs]&[vijos])

　　這道題和加分二叉樹有點像，所以立刻想到區間dp。它們倆的差別大概就在一個是樹上，還有一個是在環上。處理環就像騎士那樣處理，破環成鏈，特殊處理兩端。於是用f[aflag][i][j]來進行dp.

　　（PS，下文的區間指的是項鏈上的一段,[i, j]表示第i個能量珠到第j個能量珠這一段）

　　其中aflag為0時表示是在鏈上，[i, j]區間的能量珠合并出來的最大值。當aflag為0時表示過剖開點，從j到i（區間[j, n]和[1, i]）。

　　在鏈上的比較簡單，很容易可以想出方程 f[0][i][j] = max{f[0][i][k] + f[0][k + 1][j] + a[i] * a[k + 1] + a[(j + 1) % n]}(a表示讀入的n個數，下標從0開始)

　　過剖開點就有三種情況

1. k在左端，f[1][i][j] = max{f[0][k][i] + f[1][k - 1][j] + a[(i + 1) % n] * a[k] * a[j]}

2.  

   k在右端，f[1][i][j] = max{f[0][j][k] + f[1][i][k + 1] + a[j] * a[k + 1] * a[(i + 1) % n]}
3. 剛好是兩個在鏈上的區間(區間[j, n]和[1, i])合并，smax(f[1][i][j], f[0][0][i] + f[0][j][n - 1] + a[j] * a[0] * a[i + 1])

 最後在f[0][0][n - 1]和f[1][i][i + 1]中找找最大值就好了。

Code

  1 /**  2  * codevs        & vijos.org  3  * Problem#1154    & 1312  4  * Accepted        & Accepted  5  * Time:13ms    & 30ms  6  * Memory:364k    & 536k  7  */   8 #include<iostream>  9 #include<sstream> 10 #include<cstdio> 11 #include<cmath> 12 #include<cstdlib> 13 #include<cstring> 14 #include<cctype> 15 #include<queue> 16 #include<set> 17 #include<map> 18 #include<stack> 19 #include<vector> 20 #include<algorithm> 21 using namespace std; 22 typedef bool boolean; 23 #define smin(a, b) (a) = min((a), (b)) 24 #define smax(a, b) (a) = max((a), (b)) 25 template<typename T> 26 inline void readInteger(T& u){ 27     char x; 28     int aFlag = 1; 29     while(!isdigit((x = getchar())) && x != ‘-‘); 30     if(x == ‘-‘){ 31         aFlag = -1; 32         x = getchar(); 33     } 34     for(u = x - ‘0‘; isdigit((x = getchar())); u = u * 10 + x - ‘0‘); 35     ungetc(x, stdin); 36     u *= aFlag; 37 } 38  39 template<typename T>class Matrix{ 40     public: 41         T *p; 42         int lines; 43         int rows; 44         Matrix():p(NULL){    } 45         Matrix(int rows, int lines):lines(lines), rows(rows){ 46             p = new T[(lines * rows)]; 47         } 48         T* operator [](int pos){ 49             return (p + pos * lines); 50         } 51 }; 52 #define matset(m, i, s) memset((m).p, (i), (s) * (m).lines * (m).rows) 53  54 #define idx(i)    a[(i + n) % n] 55  56 int n; 57 int *a; 58 Matrix<int> f[2]; 59  60 inline void init(){ 61     readInteger(n); 62     f[0] = Matrix<int>(n, n); 63     f[1] = Matrix<int>(n, n); 64     a = new int[(const int)(n)]; 65     for(int i = 0; i < n; i++) 66         readInteger(a[i]); 67 } 68  69 inline void solve(){ 70     matset(f[0], 0xf0, sizeof(int)); 71     matset(f[1], 0xf0, sizeof(int)); 72     for(int i = 0; i < n - 1; i++){ 73         f[0][i][i + 1] = a[i] * a[i + 1] * idx(i + 2); 74     } 75     for(int i = 0; i < n; i++)    f[0][i][i] = 0; 76     f[1][0][n - 1] = a[n - 1] * a[0] * a[1]; 77     for(int s = 2; s < n; s++){ 78         for(int i = 0; i + s < n; i++){ 79             int j = i + s; 80             for(int k = i; k < j; k++){ 81                 smax(f[0][i][j], f[0][i][k] + f[0][k + 1][j] + a[i] * a[k + 1] * idx(j + 1)); 82             } 83         } 84         for(int i = 0; i - s < 0; i++){ 85             int j = (i - s + n) % n; 86             for(int k = i; k > 0; k--){ 87                 smax(f[1][i][j], f[0][k][i] + f[1][k - 1][j] + idx(i + 1) * a[k] * a[j]); 88             } 89             for(int k = j; k < n - 1; k++){ 90                 smax(f[1][i][j], f[0][j][k] + f[1][i][k + 1] + a[j] * a[k + 1] * idx(i + 1)); 91             } 92             smax(f[1][i][j], f[0][0][i] + f[0][j][n - 1] + a[j] * a[0] * a[i + 1]); 93         } 94     } 95     int result = f[0][0][n - 1]; 96     for(int i = 0; i < n - 1; i++){ 97         smax(result, f[1][i][i + 1]); 98     } 99     cout << result;100 }101 102 ///Main Funtion103 int main(int argc, char* argv[]){104     init();105     solve();106     return 0;107 }

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