能量項鏈 （區間DP，環狀）

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶著一串能量項鏈。在項鏈上有N顆能量珠。能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應著某個正整數。並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。因為只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能彙總成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。如果前一顆能量珠的頭標記為m，尾標記為r，後一顆能量珠的頭標記為r，尾標記為n，則彙總後釋放的能量為（Mars單位），新產生的珠子的頭標記為m，尾標記為n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過彙總得到能量，直到項鏈上只剩下一顆珠子為止。顯然，不同的彙總順序得到的總能量是不同的，請你設計一個彙總順序，使一串項鏈釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次為(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我們用記號⊕表示兩顆珠子的彙總操作，(j⊕k)表示第j，k兩顆珠子彙總後所釋放的能量。則第4、1兩顆珠子彙總後釋放的能量為：

(4⊕1)=10*2*3=60。

這一串項鏈可以得到最優值的一個彙總順序所釋放的總能量為

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

 

【輸入檔案】

輸入檔案energy.in的第一行是一個正整數N（4≤N≤100），表示項鏈上珠子的個數。第二行是N個用空格隔開的正整數，所有的數均不超過1000。第i個數為第i顆珠子的頭標記（1≤i≤N），當i<N時，第i顆珠子的尾標記應該等於第i+1顆珠子的頭標記。第N顆珠子的尾標記應該等於第1顆珠子的頭標記。

至於珠子的順序，你可以這樣確定：將項鏈放到案頭上，不要出現交叉，隨意指定第一顆珠子，然後按順時針方向確定其他珠子的順序。

【輸出檔案】

輸出檔案energy.out只有一行，是一個正整數E（E≤2.1*109），為一個最優彙總順序所釋放的總能量。

【輸入範例】

4

2  3  5  10

【輸出範例】

710

【問題分析】

這道題應該算是本次考試的拿分題目，大多選手都做了這道題。可是大多數人都想簡單了。其實它就是經典的石子合并的變形。

（1）標準演算法

這道題的考點應該是區間上的動態規劃，思考這個問題之前先得解決項鏈的環狀怎麼處理。按照題意我們可以枚舉切斷點，把環狀處理成鏈狀。當然更好的方法是把環從任意一點切斷，複製成兩條鏈把這兩條鏈首尾向接，針對題的讀入我們直接把讀入資料複製後連起來即可如：

2 3 510      ----------->2 3 5 10 2 3 5 10

這樣處理後其中任意長度為N+1的鏈就可代表一個環，那麼問題就轉化成合并任意長度為N+1的鏈所能釋放的總能量最大。

也就是說從任意一點(i<k<j)把鏈拆成兩段問題的解就是合并這兩段釋放出最大能量在加上合并後這兩顆珠子再一次合并釋放的能量。將這個子問題進一步分解就是分解到鏈長度為1也就是就有兩課珠子時，產生這兩顆柱子沒有釋放能量，而合并他們釋放的能量是m*r*n。（這就是邊界條件）。

我們設計一個狀態opt [i,j] 表示合并頭為i，尾為j的鏈狀項鏈所能釋放的最多的能量值。邊界條件是opt[i,i]=0(1<=i<=n*2).

根據定義不難得到動規的狀態轉移方程:

opt[i,j]=max{opt[i,j],opt[i,k]+opt[k,j]+a[i]*a[k]*a[j]}(i<k<j)

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;int n, dp[100][101], a[210][3];int main(){    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        int i, j, k;        for(i = 0; i < n; i++)        {            scanf("%d",&a[i][0]);            if(i > 0) a[i-1][1] = a[i][0];        }        a[n-1][1] = a[0][0];        a[0][1] = a[1][0];        for(i = 0; i < n; i++)        {            a[i+n][0] = a[i][0];            a[i+n][1] = a[i][1];        }        for(k = 0; k < n; k++)        {            for(i = 0; i < 2 * n; i++)            {                for(j = i ; j < i + k; j++)                {    int tmp = dp[i][j] + dp[j+1][i+k] + a[i][0] * a[j][1] * a[i+k][1];    if(tmp > dp[i][i+k]) dp[i][i+k] = tmp;                }            }        }        int ret = 0;        for(i = 0; i < n; i++)            ret = max(ret, dp[i][i+n-1]);        printf("%d\n",ret);    }    return 0;}