Bzoj 1041 haoi2008 round vertices Number Theory

题目大意：给定一个半径为为r的圆x^2+y^2=r^2，求圆上多少个点的坐标为整数

卡了很久的一道题。。。我之前用了两个公式，理论上可以O(√n)出解，可惜这两个公式并不能涵盖所有勾股数。。。

于是去找了下题解，发现这样一种方法：(原帖地址： http://www.cppblog.com/zxb/archive/2010/10/18/130330.html )

x^2+y^2=r^2

化简为 y^2=(r-x)(r+x)

我们令d=gcd(r-x,r+x)

则(r-x)/d与(r+x)/d一定互质，二者相乘为完全平方数，则二者一定都为完全平方数

令r-x=d*u^2,r+x=d*v^2

则有u,v互质，u<v

其中x=d(v^2-u^2)/2

        y=d*u*v

        r=d*(u^2+v^2)/2

枚举2r的因数d，对于每个d我们用O[√(r/d)]的时间枚举u 代入r的计算式得出v^2 计算v^2是否为完全平衡数及u与v是否互质

这样可以枚举出一个象限内的整点个数 然后输出(ans+1)*4即可

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll r,ans;ll factors[100100];int tot;void Get_Factors(ll x){ll i;for(i=1;i*i<x;i++)if(x%i==0)factors[++tot]=i,factors[++tot]=x/i;if(i*i==x)factors[++tot]=i;}ll GCD(ll x,ll y){return y?GCD(y,x%y):x;}bool Is_Square(ll x){double temp=sqrt( (double)x );if(fabs(floor(temp+1e-7)-temp)<1e-7)return true;return false;}int main(){cin>>r;int i;ll u;Get_Factors(r<<1);for(i=1;i<=tot;i++){ll d=factors[i];for(u=1;u*u<(r+1)/d;u++){ll v_2=r*2/factors[i]-u*u;if( Is_Square(v_2) )if(GCD(v_2,u*u)==1)++ans;}}cout<<(ans+1<<2)<<endl;}

BZOJ 1041 HAOI2008 圆上的整点 数论